高考数学真题录：解析几何客观题~全国卷

2010-2019年间全国卷的解析几何客观题

直线与圆：入门级

直线与圆：2016年全国卷B题4

圆 x^2+y^2 -2x -8y +13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1，则 a=

(A)-\dfrac{4}{3} \qquad (B)-\dfrac{3}{4} \qquad (C)\sqrt{3} \qquad (D)2

参考答案：2016年全国卷B题4

直线与圆：2010年全国卷题15

过点 A(4,1) 的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1)，则圆 C 的方程为 \underline{\mspace{100mu}} .

参考答案：2010年全国卷题15

直线与圆：2015年全国卷B题7

过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点，则 |MN|=

(A)2\sqrt{6} \qquad (B)8 \qquad (C)4\sqrt{6} \qquad (D)10

参考答案：2015年全国卷B题7

直线与圆：2018年全国卷C题6

直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A,B 两点，点 P 在圆 (x-2)^2+y^2=2 上，则 \triangle ABP 面积的取值范围是

A.[2,6] \qquad B.[4,8] \qquad C.[\sqrt{2},3\sqrt{2}] \qquad D.[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]

参考答案：2018年全国卷C题6

直线与圆：压轴题

2014年全国卷B题16

（16）设点 M(x_0,1)，若在圆 O:x^2+y^2=1 上存在点 N，使得 \angle OMN = 45°，则 x_0 的取值范围是：\underline{\mspace{80mu}}

2013年全国卷B题12

已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1)，直线 y=ax+b(a \gt 0) 将 \triangle ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是

(A)(0,1) \qquad (B)(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{2})

(C)(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{3}) \qquad (D)[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})

2016年全国卷C题16

（16）已知直线 l:mx+y+3m- \sqrt{3} = 0 与圆 x^2+y^2=12 交于 A,B 两点，过A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点，若 |AB| = 2 \sqrt{3}，则 |CD| = \underline{\mspace{80mu}}

2017年全国卷C题12

（12）在矩形 ABCD 中，AB=1,AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AD}，则 \lambda + \mu 的最大值为：

A.3 \qquad B.2 \sqrt{2} \qquad C.\sqrt{5} \qquad D.2

抛物线：中等难度

抛物线与椭圆：2019年全国卷B题8

若抛物线 y^2=2px(p \gt 0) 的焦点是椭圆 \dfrac{x^2}{3p} + \dfrac{y^2}{p}=1 的一个焦点，则 p=

A.2 \qquad B.3 \qquad C.4 \qquad D.8

抛物线与椭圆：2019年全国卷B题8

抛物线与圆：2016年全国卷A题10

（10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D,E 两点. 已知 |AB| = 4 \sqrt{2}, \; |DE| =2\sqrt{5} ，则 C 的焦点到准线的距离为

(A)2 \qquad (B)4 \qquad (C)6 \qquad (D)8

抛物线与圆：2016年全国卷A题10

抛物线：2014年全国卷A题10

已知抛物线 C:y^2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 \overrightarrow{FP}=4 \overrightarrow{FQ}，则 |QF|=

(A)\dfrac{7}{2} \qquad (B)\dfrac{5}{2} \qquad (C)3 \qquad (D)2

抛物线：2014年全国卷A题10

抛物线：2013年全国卷B题11

设抛物线 C:y^2=2px(p \gt 0) 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF| =5 . 若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ，则 C 的方程为

(A)y^2=4x 或 y^2=8x

(B)y^2=2x 或 y^2=8x

(C)y^2=4x 或 y^2=16x

(D)y^2=2x 或 y^2=16x

抛物线：2013年全国卷B题11

抛物线：2014年全国卷B题10

设 F 为抛物线 C:y^2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则 \triangle OAB 的面积为

(A)\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \qquad (B)\dfrac{9\sqrt{3}}{8} \qquad (C)\dfrac{63}{32} \qquad (D)\dfrac{9}{4}

抛物线：2014年全国卷B题10

抛物线：2017年全国卷A题10

已知 F 为抛物线 C:y^2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l_1,l_2，直线 l_1 与 C 交于 A,B 两点，直线 l_2 与 C 交于D,E 两点，则 |AB|＋|DE| 的最小值为

A.16 \qquad B.14 \qquad C.12 \qquad D.10

抛物线：2017年全国卷A题10

抛物线：2018年全国卷A题10

设抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过点 (-2,0) 且斜率为 \dfrac{2}{3}的直线与 C 交于 M,N 两点，则 \overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=

A.5 \qquad B.6 \qquad C.7 \qquad D.8

抛物线：2018年全国卷A题10

2017年全国卷C题16

已知 F 是抛物线 C:y^2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点，则 |FN|= \underline{\mspace{80mu}}

2018年全国卷C题16

已知点 M(-1,1) 和抛物线 C:y^2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A,B 两点，若 \angle AMB = 90°，则 k=\underline{\mspace{80mu}}

椭圆：中等难度

椭圆：2012年全国卷题4

设 F_1,F_2 是椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的左、右焦点，P 为直线 x=\dfrac{3a}{2} 上一点，\triangle F_2PF_1 是底角为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为

(A)\dfrac{1}{2} \qquad (B)\dfrac{2}{3} \qquad (C)\dfrac{3}{4} \qquad (D)\dfrac{4}{5}

椭圆：2011年全国卷题14

在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F_1,F_2 在 x 轴上，离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}. 过 F_1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点，且 \triangle ABF_2 的周长为 16，那么 C 的方程为 \underline{\mspace{100mu}} .

椭圆：2011年全国卷题14

椭圆：2013年全国卷A题10

（10）已知椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点. 若 AB 的中点坐标为 (1,-1) , 则 E 的方程为

(A)\dfrac{x^2}{45}+\dfrac{y^2}{36}=1 \qquad (B)\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1

(C)\dfrac{x^2}{27}+\dfrac{y^2}{18}=1 \qquad (D)\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{9}=1

椭圆：2013年全国卷A题10

椭圆：2015年全国卷B 题14

一个圆经过椭圆 \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 \underline{\mspace{100mu}} .

椭圆：2015年全国卷B 题14

椭圆：2016年全国卷C题11

已知 O 为坐标原点，F 是 椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的左焦点，A,B 分别为 C 的左，右顶点. P 为 C 上一点，且 PF \perp x 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为

(A)\dfrac{1}{3} \qquad (B)\dfrac{1}{2} \qquad (C)\dfrac{2}{3} \qquad (D)\dfrac{3}{4}

椭圆：2016年全国卷C题11

椭圆：2017年全国卷C题10

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的左、右顶点分别为 A_1,A_2，且以线段 A_1A_2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab= 0 相切，则 C 的离心率为

A.\dfrac{\sqrt{6}}{3} \qquad B.\dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad C.\dfrac{\sqrt{2}}{3} \qquad D.\dfrac{1}{3}

椭圆：2017年全国卷C题10

椭圆：2018年全国卷A题15

设 F_1,F_2 为椭圆 C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限. 若 \triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 M 的坐标为 \underline{\mspace{100mu}} .

椭圆：2018年全国卷A题15

椭圆：2019年全国卷A题10

已知椭圆 C 的焦点为 F_1(-1,0),F_2(1,0)，过 F_2 的直线与 C 交于 A,B 两点. 若 |AF_2|=2|F_2B|,|AB|=|BF_1|，则 C 的方程为

A.\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \qquad B.\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1

C.\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 \qquad D.\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

椭圆：2019年全国卷A题10：解法一

椭圆：压轴题

2018年全国卷B题12

已知 F_1,F_2 是椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 \dfrac{\sqrt{3}}{6} 的直线上，\triangle P F_1 F_2 为等腰三角形，\angle F_1 F_2 P = 120°，则 C 的离心率为

A.\dfrac{2}{3} \qquad B.\dfrac{1}{2} \qquad C.\dfrac{1}{3} \qquad D.\dfrac{1}{4}

椭圆：2018年全国卷B题12

2018年全国卷二题12

已知 F_1,F_2 是椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 \dfrac{\sqrt{3}}{6} 的直线上，\triangle P F_1 F_2 为等腰三角形，\angle F_1 F_2 P = 120°，则 C 的离心率为

A.\dfrac{2}{3} \qquad B.\dfrac{1}{2} \qquad C.\dfrac{1}{3} \qquad D.\dfrac{1}{4}

2018年全国卷B题12

已知 F_1,F_2 是椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 \dfrac{\sqrt{3}}{6} 的直线上，\triangle P F_1 F_2 为等腰三角形，\angle F_1 F_2 P = 120°，则 C 的离心率为

A.\dfrac{2}{3} \qquad B.\dfrac{1}{2} \qquad C.\dfrac{1}{3} \qquad D.\dfrac{1}{4}

双曲线：中等难度

双曲线：2013年全国卷A题4

已知双曲线 \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b\gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{5}}{2}，则 C 的渐近线方程为

(A)y=\pm\dfrac{1}{4}x \qquad (B)y=\pm\dfrac{1}{3}x \qquad (C)y=\pm\dfrac{1}{2}x \qquad (D)y=\pm x

双曲线：2013年全国卷A题4

双曲线：2014年全国卷A题4

已知 F 为双曲线 C:x^2-my^2=3m(m \gt 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

(A)\sqrt{3} \qquad (B)\sqrt{3}m \qquad (C)3 \qquad (D)3m

双曲线：2014年全国卷A题4

双曲线：2015年全国卷A题5

已知 M(x_0,y_0) 是双曲线 C:\dfrac{x^2}{2}-y^2=1 上的一点，F_1,F_2 是 C 的两个焦点，若 \overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2} \lt 0，则 y_0 的取值范围是

(A)(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}) \;\;\qquad (B)(-\dfrac{\sqrt{3}}{6},\dfrac{\sqrt{3}}{6})

(C)(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\dfrac{2\sqrt{2}}{3}) \qquad (D)(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{3}}{3})

双曲线：2015年全国卷A题5

双曲线：2016年全国卷A题5

已知方程 \dfrac{x^2}{m^2+n}-\dfrac{y^2}{3m^2-n}=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是

(A)(-1,3) \qquad (B)(-1,\sqrt{3}) \qquad (C)(0,3) \qquad (D)(0,\sqrt{3})

双曲线：2016年全国卷A题5

双曲线：2017年全国卷C题5

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b\gt 0) 的一条渐近线方程为 y=\dfrac{5}{2}x，且与椭圆 \dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{3}=1 有公共焦点，则 C 的方程为

A.\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{10}=1 \qquad B.\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1

C.\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1 \qquad D.\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1

双曲线：2017年全国卷C题5

双曲线：2018年全国卷B题5

双曲线 \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b\gt 0) 的离心率为 \sqrt{3}，则其渐近线方程为

A.y=\pm\sqrt{2}x \qquad B.y=\pm\sqrt{3}x

C.y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x \qquad D.y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}x

双曲线：2018年全国卷B题5

双曲线：2011年全国卷题7

7.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，|AB| 为 C 的实轴长的2倍，则 C 的离心率为

A.\sqrt{2} \qquad B.\sqrt{3} \qquad C.2 \qquad D.3

双曲线：2011年全国卷题7

双曲线：2012年全国卷题8

等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y^2=16x 的准线交于 A,B 两点，|AB|=4\sqrt{3} ，则 C 的实轴长为

(A)\sqrt{2} \qquad (B)2\sqrt{2} \qquad (C)4 \qquad (D)8

双曲线：2012年全国卷题8

双曲线：2017年全国卷B题9

若双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的一条渐近线被圆 (x-2)^2+y^2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为

A.2 \qquad B.\sqrt{3} \qquad C.\sqrt{2} \qquad D.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

双曲线：2017年全国卷B题9

双曲线：2019年全国卷C题10

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点. 若 |PO|=|PF|，则 \triangle PFO 的面积为

A.\dfrac{3\sqrt{2}}{4} \qquad B.\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \qquad C.2\sqrt{2} \qquad D.3\sqrt{2}

双曲线：2019年全国卷C题10

双曲线：2015年全国卷B题11

已知 A,B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，\triangle ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为

(A)\sqrt{5} \qquad (B)2 \qquad (C)\sqrt{3} \qquad (D)\sqrt{2}

双曲线：2015年全国卷B题11

双曲线：2018年全国卷A题11

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{3}-y^2 =1(a \gt 0, b \gt 0),O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N. 若 \triangle OMN 为直角三角形，则 |MN| =

A.\dfrac{3}{2} \qquad B.3 \qquad C.2\sqrt{3} \qquad D.4

双曲线：2018年全国卷A题11

双曲线：2018年全国卷C题11

设 F_1,F_2 是双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的左，右焦点，O 是坐标原点. 过 F_2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P. 若 |PF_1| = \sqrt{6} |OP|，则 C 的离心率为

A.\sqrt{5} \qquad B.2 \qquad C.\sqrt{3} \qquad D.\sqrt{2}

双曲线：2018年全国卷C题11

双曲线：2016年全国卷B题11

已知 F_1,F_2 是双曲线 E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的左，右焦点，点 M 在 E上，MF_1 与 x 轴垂直，\sin \angle MF_2F_1 = \dfrac{1}{3} ，则 E 的离心率为

(A)\sqrt{2} \qquad (B)\dfrac{3}{2} \qquad (C)\sqrt{3} \qquad (D)2

双曲线：2016年全国卷B题11

双曲线：2019年全国卷B题11

设 F 为双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的右焦点，O为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x^2+y^2=a^2 交于 P,Q 两点. 若 |PQ|=|OF|，则 C 的离心率为

A.\sqrt{2} \qquad B.\sqrt{3} \qquad C.2 \qquad D.\sqrt{5}

双曲线：2019年全国卷B题11

双曲线：2017年全国卷A题15

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点. 若 \angle MAN=60° ，则 C 的离心率为 \underline{\mspace{100mu}} .

双曲线：2017年全国卷A题15

双曲线：压轴题

2010年全国卷题12

已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点，且 AB 的中点为 N(-12,-15)，则 E 的方程为

A.\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{6}=1 \qquad B.\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1

C.\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}{3}=1 \qquad D.\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1

双曲线：2010年全国卷题12

2019年全国卷一题16

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的左、右焦点分别为 F_1,F_2，过 F_1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点. 若 \overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0，则 C 的离心率为（ ）.

2010年全国卷题12

已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点，且 AB 的中点为 N(-12,-15)，则 E 的方程为

A.\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{6}=1 \qquad B.\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1

C.\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}{3}=1 \qquad D.\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1

2019年全国卷A题16

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的左、右焦点分别为 F_1,F_2，过 F_1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点. 若 \overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0，则 C 的离心率为 \underline{\mspace{80mu}}

地标性高考数学题~双曲线：2019年全国卷A题16

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