周期信号的傅里叶级数

周期信号      x(t)=x(t+T)           T_{0}为基波周期

e^{j\Omega_{0}t}为周期信号，\Omega_{0}为基波频率          \Omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}}

指数函数形式的傅里叶级数

x(t)=\sum_{k=-∞}^{∞}\dot{A_{k}} e^{jk\Omega_{0}t}

其中\dot{A_{k}}为傅里叶级数的系数

\dot{A_{k}}的计算

x(t)=\sum_{k=-∞}^{∞}\dot{A_{k}} e^{jk\Omega_{0}t}

x(t)e^{-jn\Omega_{0}t}=\sum_{k=-∞}^{∞}\dot{A_{k}} e^{jk\Omega_{0}t}e^{-jn\Omega_{0}t}

\int_{0}^{T_{0}} x(t)e^{-jn\Omega_{0}t}dt=\int_{0}^{T_{0}} \sum_{k=-∞}^{∞}\dot{A_{k}} e^{jk\Omega_{0}t}e^{-jn\Omega_{0}t}dt

\int_{0}^{T_{0}} x(t)e^{-jn\Omega_{0}t}dt=\sum_{k=-∞}^{∞}\dot{A_{k}}\int_{0}^{T_{0}} e^{j(k-n)\Omega_{0}t}dt=\dot{A_{k}}T_{0}

注：

k=n时     \int_{0}^{T_{0}} e^{j(k-n)\Omega_{0}t}dt=T_{0}

k\neq n时  \int_{0}^{T_{0}} e^{j(k-n)\Omega_{0}t}dt=0

\left.\int_{0}^{T_{0}} e^{j(k-n)\Omega_{0}t}dt=\frac{1}{j(k-n)\Omega_{0}t}e^{j(k-n)\Omega_{0}t}\right| _{0}^{T_{0}}

t=T_{0}时函数值为\frac{1}{j(k-n)\Omega_{0}T_{0}}e^{j(k-n)\Omega_{0}T_{0}}

\Omega_{0}T_{0}=2\pi

e^{j(k-n)\Omega_{0}T_{0}}=\cos 2\pi+j(k-n)\sin2\pi=1

t=0时函数值为1

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