贝叶斯滤波（一）二维连续型随机变量的条件分布函数与贝叶斯公式

一. 二维离散型随机变量的条件分布

已知(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合概率函数为

$p_{ij} = P(X = x_{i},Y = y_{j}),i,j = 1,2,3,...,$

对于给定的 $Y = y$ ，则有在 $Y = y$ 的条件下随机变量X的条件概率函数：

$p_{X|Y}(x_{i}|y) = P(X = x_{i}|Y = y) = \frac {P(Y = y,X = x_{i})}{P(Y = y)} = \frac{P(Y=y|X=x_{i})P(X=x_{i})}{P(Y = y)}$ $,i=1,2,3,...$

通过全概率公式对分母进行展开，可得离散型随机变量的贝叶斯公式：

$p_{X|Y}(x_{i}|y) = \frac{P(Y=y_{j}|X=x_{i})P(X=x_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(Y=y_{j}|X=x_{j})P(X=x_{j})}$ $,i=1,2,3,...$

看到这里，有许多人就会说由于X, Y的分布是离散的，所以在分母处用的是求和符号 $\Sigma$ ，而如果X, Y的分布是连续的，就可以

把分母处换成积分符号，然后就能得到连续型随机变量的贝叶斯公式：

$p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx}$

是这样的吗？请往下看，虽然结论是对的，但是需要经过一定量的推导才能得出，直接类比过去是没有根据的。

二. 二维连续型随机变量的条件分布

给定的 $Y=y$ 的情况下，随机变量X的条件分布函数记为：

$F_{X|Y}(x|y) = P(X \leqslant = x|Y =y)$

在这里我们跟二维离散型进行一个类比，如果把连续型随机变量X的条件分布也写成离散型的格式：

$F_{X|Y}(x|y) = P(X \leqslant = x|Y =y) = \frac{P(X\leqslant x,Y =y)}{P(Y = y)} = \frac{P(Y =y|X\leqslant x)P(X\leqslant x)}{P(Y = y)}$

由于Y是一个连续型随机变量，在 $Y = y$ 时， $P(Y =y)$ 发生的概率为0，所以通过条件概率的定义进行

求解连续型随机变量的条件分布是走不通的，是无法进行条件概率计算的。

但是我们可以通过极限的做法做一点变形来进行求解，假设 $y<Y<y+\Delta y$ ，这样就把问题从连续型随机变量在一点Y =

的概率转化为连续型随机变量在 $y<Y<y+\Delta y$ 这个区域内的概率分布函数：

$F_{X|Y}(x|y)= \lim_{\Delta y \rightarrow 0}P(X \leqslant = x|y<Y<y+\Delta y)$

$= \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{P(X \leqslant = x,y<Y<y+\Delta y) }{P(y<Y<y+\Delta y)}$

根据联合分布函数与联合概率密度函数关系可知，对联合概率密度函数进行二重积分可得联合分布函数，此处设联合概率密度函数为 $p(x,y)$ ;

根据边缘分布函数与边缘概率密度函数关系可知，对边缘概率密度函数进行一重积分可得边缘分布函数，此处设边缘概率密度函数为 $p_{Y}(y)$ .

$= \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}\int_{y}^{y+\Delta y}p(x,y)dydx}{\int_{y}^{y+\Delta y}p_{Y}(y)dy}$

（根据积分中值定理可知，存在一个点，可以将 $\int_{y}^{y+\Delta y}f(y)dy$ 含有 $\Delta y$ 形式的积分等效为乘积的方式，即等效为 $f(y+\varepsilon \Delta y)\cdot \Delta y, \ (0<\varepsilon<1)$ 这种形式）

$= \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y+\varepsilon_{0}\Delta y)\Delta ydx}{p_{Y}(y+\varepsilon_{1}\Delta y)\Delta y} \ (0<\varepsilon_{0}<1,0<\varepsilon_{1}<1)$

分子分母同时约掉一个 $\Delta y$

$= \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y+\varepsilon_{0}\Delta y)dx}{p_{Y}(y+\varepsilon_{1}\Delta y)} \ (0<\varepsilon_{0}<1,0<\varepsilon_{1}<1)$

因为 $\lim_{\Delta y \rightarrow 0}$ ，且 $Y$ 是连续随机变量，所以把 $\varepsilon_{0}\Delta y = 0, \varepsilon_{1}\Delta y = 0$ ，代入式子

$= \frac{\int_{-\infty }^{x}p(x,y)dx}{p_{Y}(y)}$

推导到此处，可以看到积分处仅剩分子对从 $-\infty$ 到 $x$ 对 $x$ 进行积分，分母里面不含有 $x$ 的变量，因此对 $x$ 积分分母可以看做一个常数，所以可以把积分提取出来，最终得到 $F_{X|Y}(x|y)$ 的概率分布函数为

$F_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infty }^{x}\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}dx$

仔细观察等式左右边，都是关于 $x$ 的函数，而左边是一个分布函数，右边又是对一个关于 $x$ 的函数从 $-\infty$ 到 $x$ 进行积分，对 $\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}$ 进行积分得到分布函数，因此我们可以得出 $\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}$ 就为 $Y=y$ 条件下X的条件概率密度函数。

对 $F_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infty }^{x}\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}dx$ 等式两边同时求导，可得 $Y=y$ 条件下X的条件概率密度函数为

$p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)}$

对上式分母的 $p(y)$ ，可以通过全概率公式展开

$p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx}$

可以看到该式与离散型随机变量的概率分布是非常相似的，但是相似并不代表可以直接类比，可以看到，我们是经过了相对复杂的推导才得出的结论。

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