不知不觉中你也用了微积分
如果你脑子里边能稍微加入一点点想象力，加入一个无穷的概念，就能立刻理解微积分是怎么回事。我举一个例子，您一定知道古人很想研究圆。因为古人的测量都是为了分地，那个地未必都是方的，有时候会有那种弧形的、圆形的，所以古人就想了解圆到底应该怎么算。
周长大家比较容易了解，周长就是我做一个圆形的饼，我拿一根绳子绕着它这么转一圈，然后把这个绳子拿出来一量，就知道这个圆的周长了。所以基本上古人是可以测量得出一个圆的周长的。那怎么测量这个圆的面积？不能用绳子去测量圆的面积，所以我们就必须得发现圆的面积公式。
大家学过周长的公式，叫作π×d。πd是怎么算出来的呢？把周长测出来，然后把直径测出来，用周长除以直径，得到的数就是π，所以π就是圆周率。那你有没有想过为什么面积会是πr²，而不是πd²？这就是微积分的思想。你想象这是一个圆，我想知道它的面积，怎么办呢？你想象像切西瓜一样，沿着它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然后你把它掰开，上半截就变成了一个向下的锯齿，下半截就变成了一个向上的锯齿。然后你把上半截和下半截对在一块儿，成了一个什么形状呢？类似于一个长方形。
但是这个长方形的上边不是一条直线，而是一个一个的弧度。那假如你把这个西瓜切到非常薄，薄到极限，那个弧度是不是就变成了一个一个的点？用弧度构成的这条边，是不是就变成了一条趋近于直线的东西？
这时候你发现，圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。请问这个矩形的高是多少呢？是半径。那个长的一边呢？是二分之一个周长，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr吗？再乘以半径，得出是πr²。现在大家知道πr²是怎么来的了吗？就是通过切分想象出来的。所以古人能通过切分到无穷的程度，想象出来这么一个构造，解决了测量圆面积的问题，这就是微积分的思想。
你朝一面墙走，每次走1/2，永远走不到那面墙跟前。为什么呢？因为你要走到那儿去，必然走过中间的一半，你走过这个一半以后，必然得走过那个中间的一半，也就是1/4的地方。然后你得再走过1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永远都得走过你和这个墙中间距离的一半的位置。
所以就算再小，你和墙之间都隔着一个微小的一半，所以你走不到那面墙跟前去。这种想法会把人类折磨疯，因为大家觉得有道理，听起来好像是走不过去，但现实中你一下子就走到那儿去了，原因是什么呢？
这里边有个极限的问题，极限是一个特别好玩的事。当你把那个圆的边长想象成平的的时候，请问对吗？我告诉你一定不对。因为它肯定不是平的，它是个极限，所以你要抵抗一种诱惑——把极限想象成是0的诱惑。那虽然是个很小的点，但绝不是0。如果它是0，导致的结果就是整个世界会混乱。
所以大家就理解了，为什么从小学数学的时候，老师反复跟你强调一件事，说是古人规定的，0不能做分母。为什么？2÷0等于几？没这样的题。因为2÷0等于无穷，3÷0也等于无穷，10÷0也等于无穷，那结论是什么？2=3=10，全等于，全世界都一样，这很明显是错的。所以除数为0会召唤出无穷，这个无穷就会导致整个世界的逻辑混乱，就意味着这个杯子跟桌子是相等的，因为它们除以0都一样。
阿基米德还算出了抛物线弓形的面积。咱们现在会算抛物线下边的面积，有公式就能算得出来。那如果在抛物线的顶上切一刀，这上面就形成了一个不规则的弓形，这个弓形的面积怎么算？
那时候也没有微积分的工具，所以他的办法是在这个弓形内画一个三角形，但是两边多出两个耳朵，这两个耳朵怎么办呢？再画两个三角形，这不就又接近一点了吗？把面积又抠小了一点，又多出四个小耳朵，再画四个三角形，然后把这个三角形无穷无尽地画下去，最后一直画到什么程度呢？画到无穷小的程度，把那个极小值忽略掉，得到的几乎就是那个弓形的面积了。因为无法用无穷来算，所以这个叫作忽略极小值。这就是阿基米德当年所用的研究弓形面积的方法。
也就是说其中的人物有多清晰，取决于他们用的那个小三角形有多小，当那个三角形小到足够小的时候，就和一条完美的弧线是一样的。所以直到今天，阿基米德所用的这个方法，我们的计算机和数学建模依然在用，只不过计算机增加了它运算的能力，多了不起！
现在大家对无穷有概念了，无穷是了解微积分的第一步。你得能够想象出一个无穷小，但它不是0，然后去模拟接下来的运动。运动之谜的奠基人是伽利略。伽利略认为宇宙是一部伟大的著作，而这部著作是用数学的语言写成的。就是说你如果不懂数学，你无法读懂这个宇宙。
伽利略还去看钟摆的摆动。他发现无论钟摆的摆幅多少，所用时间都是一样的。伽利略是怎么发现的呢？那时候没有手表，伽利略是摸着脉搏做的实验，没有伽利略的研究，后面就不可能有手表。包括全球定位系统的原型、我们今天用到的原子钟，也是通过这些东西来的。
我给大家念一下这个原子钟是怎么回事，你就会知道道理其实都一样。
“原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，也是通过计数振动次数来计时，但它追踪的并不是摆锤的来回摆动，而是计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数，这种能态转换每秒钟要进行9,192,631,770（约91亿）次。虽然原子钟和摆钟的运行机制不同，但原理是一样的，即重复性的往复运动可以用来计时。
伽利略通过钟摆实验帮我们揭示了时间和运动之间的关系，除此之外，那时候他们都想解决的一个问题就是经度测试的问题。你知道航海的时候，纬度容易发现，只要你看太阳的位置，你就知道自己在什么纬度上；但经度很难发现，经度无法测算，所以会出现很多触礁、跑偏的情况，甚至出现事故。所以当时荷兰、英国这些航海大国就发起悬赏，谁能够解决经度测试的问题，就给谁巨额的奖金。
一直到18世纪中期，英国一个叫哈里森的人，才用伽利略的原理解决了经度测量的问题。当时的奖金多少钱你知道吗？2万英镑，极高额的一个奖励，因为他帮航海解决了几乎所有的安全问题。既能测量经度，又能够测量纬度，人们就知道船在什么地方了。
那接下来，另外一位研究运动的高手就是开普勒。过去亚里士多德认为，所有的行星都在正圆轨道上运行。因为正圆是美好的，天上的东西肯定都是美好的，所以运行轨道就是正圆轨道。但是开普勒说，行星是在椭圆轨道上运行的。在椭圆轨道上运行，就意味着它有变速运动。
这些无法彻底通过计算来解决，原因就是当时的人掌握的数学工具不够，需要等到牛顿出现。因为椭圆的运动是完全变动的，形状是变动的、速度是变动的，我们过去的数学工具无法解决这个问题，所以就要等到微积分的真正诞生才行。
有一个有意思的事是，伽利略和开普勒之间经常互相通信，他们俩是朋友。大家都不明白，为什么17世纪会是人类的一个分界线，人们从17世纪开始走入科学，17世纪以前都是宗教。原因就是17世纪有了邮政系统，邮政系统使得像伽利略、开普勒和牛顿这些人可以互相写信来矫正自己的思想，所以才会有了同行的评议、有了共识，后来会诞生了英国皇家学会。所以人类世界的种种变化背后，都有它的技术原因。
