设是
的由矩阵
（）生成的幺半子群。选取元素
使得序列
收敛。证明：存在
的一个无穷子序列
，使得序列
与
均收敛。
证：
1.构造收敛子序列:
由于
收敛，所以
是有界的。根据Bolzano-Weierstrass定理，存在一个子序列
收敛。
同理，
也是有界的，因此也存在一个子序列
收敛。
2.对角线法则:
现在我们应用对角线法则来构造共同的子序列。首先找到两个子序列 和
,使得
和
分别收敛。
令 ，然后依次令
，以此类推。
3.验证收敛性:
由于
都在
中，因此
也收敛。
同理，
收敛，且
都在
也收敛。
综上，存在一个无穷子序列，使得
和
均收敛。
这个证明过程更加清晰地利用了Bolzano-Weierstrass定理和对角线法则，确保了构造的子序列的正确性和收敛性。
解题思路：
1.明确题目要求:
题目要求我们从序列收敛的条件出发，找到一个无穷子序列
.使得序列
和
均收敛。
2.关于矩阵的形式:
我们知道 是由以下类型的矩阵生成的：
，
其中。
3.利用序列的收敛性:
根据题意，序列是收敛的。设其极限为
，即：
。
4.构造子序列:
由于矩阵的特定结构，任意 和
可以表示为:
其中。
5.有界性与收敛子列:
由于收敛，我们可以推断出
和
必须是有界的(因为收敛的矩阵乘法中，矩阵的每个元素不能无限增长)。
根据 Bolzano-Weierstrass定理，有界数列必有收敛子列，因此 和
各自都有收敛子列。
6.对角线法则:
通过对角线法则，我们可以构造出一个共同的子序列，使得在这个子序列中
和
均收敛。
