先回到数学界，来检视数学家们是如何看待和认识分形的：
最早的分形应当是可以起源于康托尔集。
小时候读过有关数学的书籍，觉得康托尔本人对于无穷集合的研究非常有趣。
在此首先来构建一个康托尔集：
取一段线段，三等份，取走中间的那一段。
再把余下的线段三等份，继续取走中间的那一部分。
明显的，我们可以知道，取走第一段的时剩下2条线段。
第二次取走之后变为四条线段。
第三次取走之后变为八条线段。
……
第n此取走之后余下的部分就是2^n条。
下图是构建康托集的前六个步骤:
这个集合的自相似性体现在当我们放大其中的一小段的时候，会发现它和这个集合本身的模样是十分类似的。
当然，也可以在二维和三维中来构建康托集。
康托尔集有一个神奇之处在于如果我们尝试来计算其长度，那么其长度为0, 因为如果我们来计算取走部分的长度：
以上康托尔集合是通过取走的方式来构建分形。（记得康托尔？曾用这个集合来说明神的存在？）。
与康托尔集类似通过取走构建分形的结构还包括：
谢尔宾斯基三角形
1.取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）
2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。
3.去掉中间的那一个小三角形。
4.对其余三个小三角形重复1。
考察一下三角形的个数:
图0中仅有1个三角形。
图1有3个三角形。
图2中有9个三角形。
图3中有27个三角形。
我们知道，如果继续构建，那么我们的图n中将会有3^n个三角形。
再用同样的方法来构建一张谢尔宾斯基地毯：
如果考察剩下的小正方形的个数的话：
正方形的个数是呈一个指数增加的状况。
第n个图中正方形个数c为： c=8^n
三维化刚刚的三角形和地毯：
将一个四面体缩小到它一半的高度，然后再将四个同样大小的四面体角对角的放着，不断的重复这个过程。
我们可以看到当讲这个四面体做的越来越小，越来越多的时候，这个四面体的体积会趋近于0.
但是它的表面积呢？
虽然经过一次变换，四面体的边长将会变小，但是，四面体的个数也会增加。
通过稍许的计算可以得出它的表面积是不变的。经过无数次的变换之后，当体积趋近于0时，表面积依旧不变，很妙。
考察三维化的正方体，又称门格海绵，可以用以下方法形象化：
从一个正方体开始。（第一个图像）
把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方一样。
把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二个图像）。
把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。
把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。
这个能够看出来，当这个正方体的体积趋近于0时，其表面积则变为无穷大(∞)。亦很妙。
其实这些数学分形的性质也跟之前的自然分形很多性质相呼应。
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以上内容摘抄，总结，拼凑于wikipedia以及各种分形初等读物。
这篇都是数学题啊。
关于康托尔的一点介绍wikipedia：
康托尔的后半生受到躁鬱症的严重影响工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测，他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗蘭西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无穷的概念即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大學的精神病院。
