一种先求导再积分变形求和式的方法

今天在知乎的提醒里出现一个“等我来答”，是这个问题问二项分布和贝塔分布的关系，有一个二项分布部分求和等于贝塔分布积分的式子，可以通过数学推导出来吗？ - 知乎，就是要证明一个组合数求和的形式等于一个积分形式，即

$\sum_{x=c}^{n}\binom{n}{x}\theta^x(1-\theta)^{n-x}=\dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(c)\Gamma(n-c+1)}\int_0^{\theta}u^{c-1}(1-u)^{n-c} \,du$

其实我是不会的，不过我搜索一下就发现在 MSE 上有人问过类似的问题，probability theory - Beta distribution CDF to Binomial Survival Function - Mathematics Stack Exchange ，才知道可以先求导化简，再积分回来这样做出来。

设

$f(\theta) = \sum_{x=c}^{n}\binom{n}{x}\theta^x(1-\theta)^{n-x}$

对 $\theta$ 求导，会发现中间刚好抵消了，得到

$\begin{aligned} f'(\theta)&=\sum_{x=c}^n\binom{n}{x}\left[x \theta^{x-1}(1-\theta)^{n-x}-(n-x) \theta^x(1-\theta)^{n-x-1}\right] \\&=\sum_{x=c}^n\left[n\binom{n-1}{x-1}\theta^{x-1}(1-\theta)^{n-x}-n\binom{n-1}{x}\theta^x(1-\theta)^{n-x-1}\right] \\&=n\binom{n-1}{c-1}\theta^{c-1}(1-\theta)^{n-c} \end{aligned}$

再积分回来，就得到那个积分表达式啦，

$\begin{aligned} f(\theta) &= f(0)+\int_0 ^{\theta} f'(u) \, du \\ &=n \binom{n-1}{c-1} \int_0^{\theta}u^{c-1}(1-u)^{n-c}\,du\\ &= \dfrac{n!}{(c-1)!(n-c)!}\int_0^{\theta}u^{c-1}(1-u)^{n-c} \,du \\ &= \dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(c)\Gamma(n-c+1)}\int_0^{\theta}u^{c-1}(1-u)^{n-c} \,du \end{aligned}$

回想起以前也见过一次这种技巧，也是证明一个组合恒等式，如下

$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\binom{n}{k}= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$

令 $f(x)$ 为下式，则题中左式 $=f(1)$

$f(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}k^{-1}\binom{n}{k}x^k$
则

$\begin{align} f'(x) &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{n}{k}x^{k-1}\\ & =\dfrac{(-1)^{n+1}(x-1)^n+1}{x}\\ &=\dfrac{1-(1-x)^n}{x}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}(1-x)^k. \end{align}$

积分得到

$f(1)= f(0)+\int_0^1f'(x) \,dx = \int_0^1\sum_{k=0}^{n-1}(1-x)^k \,dx=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$

（2020年3月17日更新）
在知乎上写的答案居然对有一位网友很有帮助，好开心，我再补充一下吧，那时候的后来我翻陈希儒的书《概率论与数理统计》的时候发现里面的习题居然有这个，现在把上面的习题和答案也粘上来。

第二章习题 7 和上面那个问题其实是一样的……

习题2.7

2.7答案

里面的习题 10 也用到了先求导再积分的技巧

习题2.10

答案2.10

陈希儒老师的书真是太好了啊，哈哈哈。

最后编辑于：2020.03.17 18:59:37

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