视觉测量使用的日益广泛和频繁，对于基础知识的学习是掌握机器视觉的学习的关键；本文针对成像模型，坐标系转换和相机标定等知识进行简介。虽然网上相关资料很多，但是本人在学习过程中同样为某些概念所困扰，写下学习总结一方面希望通过本文能为初学者解答相关概念，另一方面希望能够作为总结，加深自身印象。文章包含 3 大部分，第一部分介绍相机成像模型，针对小孔成像原理和透视成像原理进行描述；第二部分介绍成像过程中的四个坐标系和三次坐标转换；第三部分介绍使用最多的自由平面相机标定法：张氏标定法；

成像简介在实际成像过程中，经常会使用针孔模型作为相机成像模型的近似；针孔成像的原理：现实世界源于物体的光线穿过针孔，在底板上投影成一幅倒立的图像；

图一：针孔成像原理

图二：左图为2维针孔成像模型；右图为透视投影模型对针孔模型进行二维化简，可以看出物体光线经过小孔后成倒立的像；但是成倒立的像表述比较口；因此对小孔成像进行化简成右图的形式，右图也称为透视投影模型；透视成像模型与小孔模型相比，光心位于成像平面的后方，成正立的实像，更符合实际成像过程；透视投影将三维空间点投影到二维平面上，对于三维空间中一点，与相机光心，投影点三点连线在同一条线上；后续我们将使用透视投影模型作为成像分析的基础。

坐标系转换在投射投影模型中成像具有以下几个过程，涉及到 4 个坐标系之间的三个转换：

图三：相机成像过程

坐标系介绍1.空间三维坐标系三维空间坐标系即世界坐标系，是一个绝对的坐标系，所有三维点在世界坐标系下能够反映各自的位置关系；世界坐标系的原点是不固定的，随着应用场景不同，世界坐标系原点不同；在相机标定过程中，世界坐标系置于标定板的棋盘格的左上端。

图四：世界坐标系世界坐标系和相机三维坐标系都是三维坐标系，但是坐标系原点不同；两个三维坐标系可通过平移和旋转进行相互转换；物理意义：一个三维点在世界坐标系下的坐标可通过平移和旋转，转换到另一个不同原点的三维坐标系下。

图五：平移和旋转转换三维坐标系假设世界坐标系下物体点 P 的坐标( Xw, Yw, Zw)，经过旋转矩阵 R 和平移矩阵 t 变换后，转换为相机坐标系下坐标( Xc, Yc, Zc )，则转换过程可表为：

用矩阵表达：

是相机模型的外参2.相机三维坐标系相机坐标系是以相机光心 O 为原点的三维坐标系，世界坐标系下的三维点通过欧式变换(平移和旋转)，可转换到相机坐标系中；相机坐标系的点到图像坐标系的点，通过透视变换进行转换；其中图像坐标系是一个二维坐标系，可理解为相机坐标系中距离相机光心 距离为f(Zc=f) ，与光心 Zc=0平 面平行的一个平面；

图六：透视变换将所有相机光心的坐标投影到 Zc=f 的平面上则：

矩阵形式：

3.图像坐标系

图七：图像坐标系图像坐标系（ Zc = f 的平面）是二维坐标系，描述相机坐标系中投影点在图像上的投影位置，一般坐标中心在相机Zc坐标轴上，xy坐标轴分别与相机坐标系中 XY轴平行；图像坐标系描述透视变换后空间点在图像上成像的位置坐标；4.像素坐标系图像坐标 （x,y） 转换到像素坐标 (u,v) ，通过量化像素大小，计算投影点所在的像素位置；其中单个像素在x轴上的大小dx，y轴上的大小dy；一般在摄影测量中像素坐标系的原点在左下方；计算机视觉中像素坐标系的原点在左上方；本文以计算机视觉为准，原点在左上方如图7所示；

使用矩阵的形式表达：

为了获取齐次坐标，最后一行可以添加 1 进行补充；由于存在加工误差，像素不是绝对的矩形，是平行四边形形状；引入倾斜因子 

图八：像素倾斜此时公式(3)可描述成

，在实际标定过程中有时可认为 s=0，进行省略。 

成像过程介绍联立(1)(2)(3)式可以获得，世界坐标系一点P(Xw,Yw,Zw) 到像素坐标的计算过程：

通过推导相机模型，知道相机的内参 K 和外参[R t]，下面将介绍如何求解相机内参和外参；对于相机标定我们介绍张氏标定；后续会出相机标定的专题，介绍 DLT 直接线性求解法，Tsai 两步法等常见的标定方法，畸变矫正方法以及相关的非线性优化知识等。

张氏标定求解基础知识相机标定，是使用大量观测值进行参数模型拟合的过程，在此拟合的参数模型是已知的，所以尽可能探索获取大量观察值的方案，如果观测值之间还满足一些其他的几何约束，就更有助于求解具体单个参数值；张氏标定是一种提供观察值的方案，同时观察值之间还满足一定的几何约束(平面约束)；假设某图像上坐标m=

，齐次表达式m̅ =

，世界坐标系一点坐标𝑀=

，齐次形式M̅=

；则相机模型为：

其中s为尺度因子，外参[Rt]，内参矩阵A

其中

为焦距的值（像素为单位），(u0,v0)为像主点坐标（像素单位）；

为像元轴的倾斜因子；使用张氏标定时，世界坐标系固定在标定板上，且Z=0：因此：

又由于：

张氏标定通过观察置于一个平面的标定图像，获取

与

的映射关系单应性矩阵H，然后计算内参和外参的过程。

求解过程：近似解定义：

则：

推导出：

由于 r1, r2 是正交矩阵的列向量，两两正交且为单位向量；则具有如下两个约束：

则：

令：

注意到B是对称矩阵，可用6维向量表示：

已知 1 个单应性矩阵提供 2 个约束，线性方程组 b 有 6 个未知数(5 个内参+1 个尺度因子)，n>=3 个单应性矩阵可求取全部未知数；n=2 时，令 γ=0，此时添加一个约束：

n=1 时可计算两个内参 α 和 β，此时要求 u0 和 v0是已知的；由矩阵

，内参矩阵可通过 B 矩阵进行求解：

求取内参之后，根据内参矩阵 A 矩阵获取外参：

不足和改进对于上面的解法，都在旋转矩阵 R=

是正交矩阵约束下求解的；

但是实际上由于噪声和干扰的存在，旋转矩阵不一定是正交的，因此此种计算方式获取的内参和外参有一定的误差；为了获取较精准的结果，可通过先对旋转矩阵 R 求取最接近的正交矩阵，计算

式中R为要求的旋转矩阵，Q为上式中初步求取的含噪声的旋转矩阵；

公式（15）计算最小的F范数转换成获取最大的

矩阵的迹。对 Q 矩阵进行奇异值分解为

,其中S=

。此时定义一个正交矩阵 Z，则Z=

,则

从等式中可以计算当

存在最大值，此时Z=I为公式(15)的解。

最大似然估计上面的通过最小化代数几何获取的近似解求取的参数矩阵，不具有物理意义；通过最大似然估计进行计算精确值；上述计算的结果存在噪声，以旋转矩阵为正交举证为假设的前提进行计算的，虽然通过计算

获取了最接近的正交旋转举证，但是前面的计算已经包含了误差的影响，对于高精度的结果影响较大，下面需要通过非线性优化进行计算相机参数模型的精确解；我们通过获取的n张图片，每张图片上面m个模型点。假设图片上的点具有随机正态分布的噪声点；则最大似然估计结果由下面的最小化公式获取：

其中

中，

为第 i 张图片中三维空间中的投影点。旋转矩阵R 由一个三维向量进行参数化参与计算，三维向量与旋转轴平行，数值与旋转角大小一致；矩阵 R 和向量 r 通过罗德里格斯公式进行计算。最小化的过程是一个非线性最小化问题，根据 Levenberg-Marquardt 算法进行求解；求解过程中需要给定初始值A，

，可将上面计算的近似解作为初始值使用。

畸变系数矫正到目前为止，我们还未考虑畸变情况，所有推导都是无畸变的理想状态；对视对于便携式镜头的畸变是不可忽略的，广角镜头和鱼眼镜头畸变更大，尤其是径向畸变；在本节中我们将讨论畸变情况，一般只考虑2项径向畸变

，3 项切向畸变

；在实际效果中，对像素畸变大小的影响排序：

图九：畸变图像径向畸变是由于镜头自身凸透镜的固有特效造成，光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，因此镜头的畸变与距离镜头中心距离有关；畸变是影响镜头透视成像结果，对于透视成像无畸变坐标(x,y)，施加畸变后成像坐标

，则

其中：

，表示距离镜头中心的距离；对于透视变换的畸变对像素坐标的影响，无畸变的理想像素(𝑣,𝑤)，经过畸变影响后位置

；由公式可知，像素坐标和相机坐标的变换关系：

假设

，则畸变对像素坐标影响的数学模型为：

切向畸变是由于透镜和 CCD 的安装位置误差导致。因此，如果存在切向畸变，一个矩形被投影到成像平面上时，很可能会变成一个梯形。切向畸变需要两个额外的畸变参数来描述，矫正前后的像素坐标关系为：

综述我们一般使用 5 个畸变参数来描述透镜畸变，对于高精度测量，可选用更多项畸变系数进行畸变描述和校正；则最终含有5项畸变系数的标定模型：

至此张氏标定理论部分基本已经讲完，后续将会介绍实践部分和精度影响。

张氏标定进行总结1. 打印一个标定棋盘格，棋盘格粘贴在平面上；(进行高精度标定，可在陶瓷板上面达标棋盘格)2. 移动棋盘格进行拍摄图片，为了获取最佳标定结果，一般拍摄 10 张以上图片会更好；3. 提取图片中的角点坐标m（u，v)；4. 通过近似解估计内参和外参结果；5. 使用线性最小二乘法估算畸变系数；6. 最小化所有参数；

实验部分实验部分使用α和β的相对误差及u0和v0的绝对误差探究0均值高斯噪声，标定图片数量以及标定平面倾斜角度对误差的影响结果；1. 高斯噪声对标定结果的影响

3个确定位置的平面进行标定，对不同的标定图片施 0均值不同σ的高斯噪声，则α和β的相对误差及u0 和v0的绝对误差线性变化，数值从0.1pixel到 1.5pixel；说明随着高斯噪声的σ越大对误差的影响越大；2. 标定图片数量对结果影响

随着标定图片数量的增加，相对误差和绝对误差的数值越来越低，因此一般标定建议标定数量至少10张图片；3. 标定平面倾斜角度对结果的影响

当两幅图片只具有位移，没有旋转时，外参不会分别产生约束，两个单应矩阵具有一定的转化关系，此时两张图片产生退化配置，只有一张图片提供外参约束；因此在标定板移动时，旋转角度要大一些，实验探究旋转角度对标定结果的影响；当两幅图片的旋转角度小于 5°时，产生退化配置，标定误差非常大；一般建议移动标定板时，角度 45°和 70°之间最佳；

总结本文介绍相机的成像模型以及常见的 2 维平面标定方法，介绍小孔成像模型以及透视成像模型，成像过程中 4 个坐标系和 3 次坐标系变换，以及常见的 2D平面标定法，张氏标定的相关介绍；本文的来源参考网上的知识进行相关知识的总结，后续也将推出视觉测试方面的连载系列博客；如果能够为同学解答一些小的疑惑，本人将无比荣幸；本人知识有限，写作手法生疏，如果有些地方描述不清晰烦请指教，本人将在下次写作中改正；欢迎各位同学进行相关知识交流。

参考文献1.  Z. Zhang, "A flexible new technique for camera calibration," in IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 11, pp. 1330-1334, Nov. 2000,doi: 10.1109/34.888718.2.https://blog.csdn.net/rs_lys/article/details/113248118.