最近看到这了，李群，有称之为线性群，不仅满足群的性质，还具有线性，往往表示为矩阵形式，这样线性就是显然的。
不过呢，线性毕竟要涉及变换，考虑线性函数的定义，在定义域中的线性运算被函数所保持，所以对于群中元素而言，这种线性就不好表示了，因为没有变换。为了引入这样的变换，所以定义了单参数群，就像参数曲线一样，通过参数来间接表示群元素，一个参数经过变换表示一个群元素，那么参数之间的线性运算就可以借此表示出群元素之间的线性运算。
例如，考虑旋转群SO3,对固定转轴的两个依次作用的转动，与他们的复合所给出的单个转动作用效果相同，这其实就是线性的表现。一个转动总可以参数化表示为一个转轴位置和一个转角，上面涉及的过程就是转角参数的相加，等价于转动的复合。
线性之外，还有另一个性质，连续性，这就涉及分析的内容了，参数的微小变化导致群元素的微小变化，由于群元素是矩阵，不可避免就需要借助矩阵理论中的距离定义了，也就是泛函分析的一些内容了，像范数，距离，度量之类的，最终还是为了拓扑的建立，从而定义开集，邻域等拓扑概念，来精确描述微小变化的含义。这些内容和微分流形的联系就很紧密了。
其实，李群一直都是微分流形中的重要内容，单参数可微微分同胚群，这个长名词我一直都记着，但其含义到了现在才明白，只能说，之前代数水平太差，没有抓住本质。
李群差不多就这样了，一般李群都是些运动群，也就是空间的微分同胚群，也就是说，考虑群作用，将李群中的元素作用于某一空间，得到的是与原空间微分同胚的新空间。
接下来是李代数，李代数，还是搞不太明白，定义说是李群在恒等元处的切空间，这个涉及平移不变性对点位置不确定性的消除，说白了就是一个商结构，相差一个平移作用下认为两对象相等。消除了这样的多余特征后，就能对本质问题加以研究。但是，这样的定义并不能给出李代数中元素的性质。不过好像是和联络有关的，就是张量分析中的协变导数，克氏符号那些东西。李代数既然为代数，就必然有运算，毕竟代数是同时具有加法和乘法的结构，而且加法是交换的，乘法根据交换与否分为交换代数和非交换代数。李代数的乘法是李括号，是反对称的，自然非交换，说起来关于二元运算括号，也是很有意思的，一般在基础的课程中根本遇不到，常见的也就李括号，泊松括号，量子泊松括号，他们都是和几何息息相关的。括号总是具有雅可比性质，三个元素的各种括号组合之和为零。
感觉，这些东西确实是非常神奇，虽然看起来很复杂，但是在各种涉及空间的问题中总能遇到，不仅是现实空间，还有各种参数张成的状态空间，可能这才是现代几何中的特征量。
这些东西可以说是非常深奥了，之前所看的数学体系中这些内容也是很靠后的，虽然暂时没有实用化，了解一些也没有坏处。还有一个原因，是阿提亚在其现代数学展望中对这些东西给出了很高的评价，一个是李群，一个是同调代数，他们都体现了联系性，这也是一个想法吧，想要将支离破碎的现代科学构建出一个整体的图景。
就像费曼所表达的，宇宙是一杯葡萄酒，人们从各个角度对他分析，构建出来许许多多的领域与学科，但他们本质上还是一个整体，忘掉差别，将他一饮而尽，最为快意。
可惜，感觉还远远不足，不过，即使是拼图的一块小区域，也足够精彩了。
