今天，重新阅读了两年前看的一篇博文，《MIT牛人解说数学体系》，有了很多新的理解。

之前看的时候，感觉太厉害了，各种数学名词，各种数学领域信手拈来，而且还可以分析一番，畅谈理解。实在令人佩服。也为之向往。可惜的是，当时水平有限，大部分看的是半懂不懂，只是在文章渲染下感觉把握住了这些数学领域，当然，这不过是错觉。

现在，相比之前的水平有了一点进步，姑且可以谈一谈了。

文章内容

文章谈论了许多东西，以集合论作为数学基础，谈论数学两大分支，分析与代数。

分析按照古典微积分，实分析，点集拓扑，微分几何的顺序，并穿插了基于测度论的现代概率论。

代数则是从抽象代数，进行到线性代数，并且谈论线性代数上的泛函分析，进而是巴拿赫代数，调和分析，李代数。

最后收尾于李代数。

篇幅很长，内容宏大。读后确实有所感悟。

当时想法

其实，作者的线路大致上是正规学习线路，而且偏重于分析。

当时看过这文章后，深受影响，就尝试着去看这些书，结果发现大多完全看不懂。

集合论还好，因为到处都是集合，有许多具体的例子。

数分高代稍微能看懂点，毕竟有高数线代的底子。

拓扑十分抽象，各种概念很难建立直观印象，多次尝试，多次失败。

微分几何概念多内容杂，曲线曲面看过就忘了。流形甚至连定义都看不懂，完全没办法继续。

抽象代数，最大的问题就在于抽象，毕竟学习是有惯性的，之前课堂上学习的都是偏向应用的，有着详实的例子，突然转变十分困难。群论不知道看过多少遍了，依然是看过就忘，唯一记得就是封结幺逆。

线性代数，看过几遍，依然是算算算，背背背，收获大概就是解方程了。

实分析，直接卡在了上下极限集上，课本不说人话，抽象代数没入门，测度的定义也是看不懂的。那时完全不理解就几条运算就能构建一个代数。

复变函数，也就停留在复数上了，级数在微积分中就没学好，更别说复项级数了。

后面的泛函，调和，李代数是进阶科目，更不可能学会，只翻一两页就遇到了实质性困难，各种概念听都没听过，在寻求解释时又发现其他的陌生概念，最后就变成了长长的书单。没有系统性的学习，强行看高阶理论往往会遇到这种问题。

这就是当时的艰难了。虽然想要领会这种精妙的联系，但不付出苦工肯定不行。

估计这也是很多学习数学的人要面临的问题，很不容易。

学习的困难

学习会面对很多困难，不论是老师指导，还是自学，其实，国内的老师教学水平，大家心照不宣，可以说学数学几乎都在自学。

自学的困难非常多。即便不考虑坚持的问题，仍会有许多难以客服的障碍。

首先是教材上的障碍，虽然中文教材方便看，但绝对不适合自学，概念的描述十分奇怪，让人似懂非懂，而且少的可怜。定理一堆，证明有的偷工减料，缺失关键部分，有的工于技巧而难以理解。在我看来，好的证明应该是习题的样本，具有普遍性且便于模仿。这些教材更像是工具书，用来查找而不是学习。

这是经验之谈，对此不太了解的人可以对比一下外文教材就明白了。尽管读英语书也是很痛苦的，但是这种痛苦远不及证明看了一半却从天而降一个完全不显然的结论，却没有任何的注释，需要自己百般寻找的那种愤怒。关键的是，对于一些比较新的理论，往往只有外文版，中文翻译版可能都没有。

然后在数学这一领域，中外差距是特别明显的。而且，国内整体的学习氛围是功利的，应试的。中文互联网上的优质数学内容产出非常少。找到的内容最多的是高考，考研数学，稍微好一些的是数专的课程数学，再往上，一些比较新的理论就几乎看不见了，比较好的现象是程序员这一行业的从业人员往往也有不错的内容产出，不会局限于应试，往往有自己的理解。不过，整体上层次不高。数学概念上，百度百科词条不多，内容匮乏，难以理解，建议维基。在B站上倒还有许多课程视频，不过高端的课程几乎都是国外的。外文授课，没有字幕，对大多数人而言，估计很难听懂，不够友好，是面向专业学习者的。知乎是用来展示水平的，不是用来学习的，当然，也有许多专栏是很好的学习素材，用于加深理解，但过于零碎，学习依然是以书本为主。

这些是个人感受，显然国内要形成良好的学习氛围还有很长的路要走，因此，要接触一些最新的理论，最好要懂英语，及早与国际接轨，这样才能看到广阔的数学世界，不至于浪费时间在各种应试数学上。

数学体系

中间话题跑得有点远，不过也无所谓，那些话更想说给以前的我，少走弯路，看清方向，不过，走得太顺利就没有收获感了，反而是一种损害。

什么是数学体系？

由最基础概念不断发展到高级形态。就像一棵大树，根部而起，枝繁叶茂。更像是公理体系，由有限的几条公理，推演出庞大的理论体系。这是备受推崇的，却也饱受诟病，虽然描画了广阔的世界，但是人们对其一无所知，还要从头探索，效率十分低下。

就拿这最成功的作品而言，从集合，到自然数，整数，比例数，实数，复数。要完整走一遍，各种定义与定理可以写满十几页纸，太慢了，学习一遍就是几个月的时间。

对于不太熟悉的作品，代数，从范畴，到幺半群，群，交换群，环，域，向量空间。依然是艰难的旅行，学习一遍可能就半年过去了。

分析，基于实数理论，从极限，到连续，微分，积分，级数，一致收敛，测度，可测，勒贝格积分，估计得用一年时间。

整个的过程太漫长了。

这就是公理化的弊端，虽然给出了世界，但可用工具太简陋了，将命题还原为几条公理，分解的过于彻底，各领域的联系都被打碎了。

遵从这一原则写就的书籍很多很多，书中命题的证明都是链状的，虽然正确，却也繁琐。领域间的联系往往是由描述性的语言表达，再给出一些例子，缺乏正式的描述与证明。

数学领域间的联系应该是显明的，应该是使用定理记录在正文中的，怎么可以只是用自然语言描述一下，给几个例子就略过了呢？

所以，我不遗余力的推荐范畴论，联系无处不在，过去因为公理化的证明而被埋藏的深刻的联系是时候被人们所知了，并且作为最重要的性质传授给学生。

这是可以做到的。而且应该被做到。一个学生看到连续函数与连续映射时从本能感受到了一种联系，可是却无法从书中的任一个角落找到这种联系的正式书写，这是不应该的，它们显然有些共同的性质，这种感觉让人难以忍耐。所以是时候光明正大的告诉他，你的感觉一点没错，而且不止如此，连续函数与连续映射都保持了某种结构，由开集到开集，由紧集到紧集，它保持了开集的性质，也保持了紧集的性质。像这样的函数数不胜数，比如群同态，由群到群；环同态，由环到环；线性变换，由向量空间到向量空间。他们都是同一类的映射，他们都有着联系。这时，这个学生可能会陷入获取了如此精妙绝伦的知识的狂喜，还有什么比这更美妙呢？世界是联系着的，数学也是联系着的。

于是，在抽象代数课上，他将会毫不怀疑同态是如此的重要，并且迅速而自信的说经过同态后所得结构还是群，满足群的公理。在同学们的关注下，开始那精妙的解释。每个乐于求学的学生都不能忍受这样的诱惑，我可能掌握了学习数学的钥匙，自此，数学大门完全敞开。

这只不过是范畴论一个十分初等的应用。

数学，应该换一个样子。既然范畴论已经出现，那他不应该继续待在神庙中供奉，而应该被所有人共享。