目录
0. 前述
本文内容因提前还贷的话题衍生而来。
凭直觉会有如下认知：
- 如果自己理财的收益率超过贷款利率，就不应该提前还贷；否则提前还贷是可以的。
- 越早提前还贷越好，因为节省的利息更多。
- 提前还贷对银行有损失，因为减少了银行的利息；以前有的银行也提出过要收取提前还贷的“手续费”或“违约费”之类的费用。
这些凭直觉是正确的吗？最近重新思考了月供和提前还贷的问题，并尝试用一些学到的数学模型来进行分析。
为了简化问题分析过程，我做了一些假设，比如假设市场利率会保持不变、假设投资理财的过程的风险和成本很小等，还有一些假设会在后面提到。
1. 净现值
首先需要考虑净现值。净现值就是按照给定利率把未来现金流贴现到现在的净值。净现值的计算公式：
其中是每一期的现金流，
是贴现率，
是总期数。假设所有
都是相等的
，再利用等比数列求和公式：
令可以得到简化的净现值计算公式：
2. 房贷月供计算公式
因为在思考提前还贷，就需要了解房贷月供是怎么算的。网上看到房贷的等额本息月供计算公式如下：
其中是月供，
是贷款本金，
是贷款月利率。月利率与贷款年利率的关系是：
，其中
是贷款年利率。
我惊奇的发现，月供公式（4）就是净现值公式（3）反过来的形式。从这个公式可以得出一个结论：月供就是在给定利率条件下让净现值等于贷款本金的还款现金流，贷款金额就是月供按月复利计算的净现值。
等额本金的月供计算公式不在本文讨论范围。
注意这里是月复利，不是年复利。按月复利计算的有效年利率：
下表是一些典型的计算结果：
| 2.00% | 2.50% | 3.00% | 3.50% | 3.55% | 4.00% | 4.50% | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2.02% | 2.53% | 3.04% | 3.56% | 3.61% | 4.07% | 4.59% |
可以看随着的增大，
与
的差距就越大。
3. 提前还贷
接下来说提前还款（提前还本金）。为了简化问题，不讨论在两次月供扣款中间提前还款的情况，因为那还要去计算不满一个月的利息等问题。本文把每一期都视为不可分割的时期，而提前还款正好发生在扣款的时候。
假设是提前还款前的剩余本金，
是还款后剩余的未还本金，
是本次提前还款的本金金额。那么：
按照前面对月供的理解，新的月供的净现值就等于。那么
与月供变化之间的关系是怎样的呢？
先假设按照“减少月供、期数不变”的方式提前还款。这种还款方式等效于每个月都在原有月供的基础上产生了一个正的现金流
，这个现金流等于新月供相比原月供减少的金额。因为净现值（在
和
不变的前提下）具有可加性，所以
就是现金流
以
为贴现率的净现值。所以可以得出以下结论：
- 不管是否提前还款，银行的净现值（或终值）理论上都不会变化。也就是提前还款不影响银行提供贷款的收益。除非再把久期、再投资风险等问题纳入考虑，但本文不讨论那么复杂的问题。
-
提前还款相当于是以
为本金，进行了一项期数为
、月复利为
的投资项目。
现在假设按照“月供不变、缩短期数”的方式提前还款。这种还款方式不会让每个月都产生一个正的现金流，而是把期数缩短到某个
，等效于获得一个从
期到
期之间以月供
为固定金额的现金流。那么这个现金流的净现值为：
利用等比数列求和公式可简化为（略去中间计算过程）：
按照月供计算公式（4）可以变换得到：
把公式（9）带入公式（8）得到（略去中间计算过程）：
所以减少的月供的净现值仍然等于。所以“减少月供、期数不变”的结论仍然适用于“月供不变、缩短期数”。硬要说差别，应该是久期和流动性不同，但本文不讨论这个问题。
4. 提前还贷的决策
前面说了提前还贷等效于买了一个长期的、月复利理财产品。那么要不要提前还贷的问题就可以等效为提前还贷和自己理财哪个的收益更高？
假设有一笔固定资金，即可以全部拿来自己理财，也可以全部拿来提前还贷。该假设同时表明这笔资金不管怎么投资都不会给家庭带来任何流动性风险。
那么决策的依据就是两种投资方式的资金终值哪个更高。这里不应该把房产价格纳入决策依据，因为不管房产价格怎么波动投资终值都只跟投资利率有关。不管房产如何涨跌，投资收益都是不变的。
按照货币时间价值的计算公式可以直接得出结论：
- 当自己理财的月复利>贷款月复利时，自己理财的收益更高，不应该提前还款。
- 当自己理财的月复利<贷款月复利时，自己理财的收益更低，应该去提前还款。
接下来进一步假设：
- 自己理财的月复利<贷款月复利；
- 有一笔没有任何流动性风险的资金，且可以部分自己理财、部分提前还款；
那么应该用这笔资金的多少去提前还款呢？很显然用于提前还款的比例越高，投资收益也越高。
这里决策所用的理财月复利不是年利率，而是按照公式（5）计算为：
其中是理财的年利率或年化利率，
是理财的月复利利率。
5. 提前还款的风险
提前还款我能想到有如下风险：
- 流动性风险：不应该把救命钱或已规划用途的资金挪用来提前还款。
- 利率风险：贷款利率浮动调整或自己理财能力发生变化会导致先前对提前还贷的决策不再是最优的。
6. 什么时候提前还款
在还贷的前期和还贷的后期提前还款，哪个更划算呢？分两种情况来讨论。一种情况是在不同时期都单纯决策当下是否应该提前还款。在这种情况下，如果按投资终值来决策，那么剩余月供期数并不影响决策结果。影响决策结果的之后理财收益率和贷款利率的关系，所以按照前面的结论来做决策就好了。
另一种情况是当前需要决策是立马提前还款，还是到未来再提前还款。假设用如下模型来描述这个问题：
- 有一笔没有流动性风险的固定资金
- 当前贷款剩余月供
- 到月供剩余
期的时候再提前还款；
- 在剩余
期，资金
- 自己理财的全部收益都用来提前还款；
- 决策的依据是投资终值与
那么投资的终值为：
其中是自己理财的收益。当
的时候就是立马提前还款：
把公式（11）和（12）相除得到：
那么可以得出结论：
- 如果
，那么自己理财更有利，且
时投资收益最大。
- 如果
，那么提前还款更有利，提前还贷更有利，且
时投资收益最大。
所以决策依据仍然是比较投资收益率；如果在可以排除风险的情况下满足提前还款的条件，就应该尽早提前还款。
