(n-1)*样本方差/σ^2 服从自由度为 n-1 的卡方分布的证明

设 $X_{i} ～ N(\mu , \sigma ^2)$ ， $i \in [1, n]$ ，是容量为 n 的正态随机样本，样本方差 $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X} )^2}{n-1}$ ，证明： $\frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2 } ～ \chi ^2(n-1)$ ，即服从自由度为 n-1 的卡方分布。证明如下：

在证明命题之前，我们先证明一个结论：(1). 设 n 个相互独立的标准正态随机变量 $Z_{i}$ 经过正交变换后为 $Y_{i}$ ，则 $Y_{i}$ 依然是相互独立的标准正态随机变量，且 $\sum_{i=1}^nY_{i} ^2= \sum_{i=1}^nZ_{i}^2$ 。

首先证明结论(1)的第一部分：设随机向量 $Z = \left\{ Z_{i} | i \in [1, n] \right\}$ ， $Z_{i}$ 是标准正态随机变量。矩阵 A 是 n 阶正交矩阵， $a_{i,j}$ 是 A 的元素。随机向量 $Y = \left\{ Y_{i} | i \in [1, n] \right\} = AZ$ ，则 $Y_{i} = \sum_{j=1}^na_{i,j}Z_{j}$ ，即 $Y_{i}$ 是 n 个正态随机变量的线性组合，且 $E(Y_{i}) = \sum_{j=1}^na_{i,j}E(Z_{j}) = 0$ 和 $D(Y_{i}) = \sum_{j=1}^na_{i,j}D(Z_{j}) = \sum_{j=1}^na_{i,j}^2 = 1$ ,故 $Y_{i}$ 是标准正态随机变量。

然后证明结论(1)的第二部分： $Y_{i}$ 是相互独立的。协方差 $Cov(Z_{i}, Z_{j}) =$ $\begin{cases} 0 & , i \neq j\\ 1 & , i = j\end{cases}$ ，则协方差 $Cov(Y_{i}, Y_{k}) = Cov(\sum_{j=1}^na_{i,j}Z_{j}, \sum_{l=1}^na_{k,l}Z_{l}) =$ $\sum_{j=1}^n\sum_{l=1}^na_{i,j}a_{k,l}Cov(Z_{j}, Z_{l})=\sum_{j=1}^na_{i,j}a_{k,j} =$ $\begin{cases} 0 & , i \neq k\\ 1 & , i = k\end{cases}$ ，即 $Y_{i}$ 是两两不相关的，因为 $Y_{i}$ 是正态随机变量，故 $Y_{i}$ 是相互独立的。

最后证明结论(1)的第三部分： $\sum_{i=1}^nY_{i} ^2 = Y^TY = Z^TA^TAZ =$ $Z^TZ = \sum_{i=1}^nZ_{i}^2$ 。至此，结论(1)证明完毕。

现在我们使用结论(1)来证明命题。设矩阵 A 是 n 阶正交矩阵， $a_{i,j}$ 是 A 的元素，其中 $a_{1,j}= \frac{1}{\sqrt{n} }$ ；随机向量 $Z = \left\{ Z_{i} | i \in [1, n] \right\}$ ，其中 $Z_{i} = \frac{X_{i}-\mu }{\sigma }$ ，即 $Z_{i}$ 是标准正态随机变量且相互独立，则 $\bar{Z} = \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }$ ；随机向量 $Y = \left\{ Y_{i} | i \in [1, n] \right\} = AZ$ ，即 Y 是 Z 经过正交变换 A 后得到的随机向量，其中 $Y_{1} = \sqrt{n} \bar{Z}$ ；那么：

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2 } = \sum_{i=1}^n\frac{(X_{i}-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n(Z_{i} - \bar{Z})^2 =$ $\sum_{i=1}^nZ_{i}^2 - n\bar{Z}^2 = \sum_{i=1}^nY_{i}^2 - Y_{1}^2 = \sum_{i=2}^nY_{i}^2$ 。因为 $Y_{i}$ 是相互独立的标准正态随机变量，故 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2 }$ 服从自由度为 n-1 的卡方分布。

命题证毕。

(n-1)*样本方差/σ^2 服从自由度为 n-1 的卡方分布的证明

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