设)
，![i \in [1, n]](https://math.jianshu.com/math?formula=i%20%5Cin%20%5B1%2C%20n%5D)
，是容量为 n 的正态随机样本，样本方差%5E2%7D%7Bn-1%7D%20)
，证明：S%5E2%7D%7B%5Csigma%20%5E2%20%7D%20%20%EF%BD%9E%20%5Cchi%20%5E2(n-1))
，即服从自由度为 n-1 的卡方分布。证明如下：
在证明命题之前，我们先证明一个结论：(1). 设 n 个相互独立的标准正态随机变量
经过正交变换后为
，则依然是相互独立的标准正态随机变量，且
。
首先证明结论(1)的第一部分：设随机向量![Z = \left\{ Z_{i} | i \in [1, n] \right\}](https://math.jianshu.com/math?formula=Z%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%20Z_%7Bi%7D%20%7C%20i%20%5Cin%20%5B1%2C%20n%5D%20%5Cright%5C%7D%20)
，是标准正态随机变量。矩阵 A 是 n 阶正交矩阵，
是 A 的元素。随机向量 ![Y = \left\{ Y_{i} | i \in [1, n] \right\} = AZ](https://math.jianshu.com/math?formula=Y%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%20Y_%7Bi%7D%20%7C%20i%20%5Cin%20%5B1%2C%20n%5D%20%5Cright%5C%7D%20%20%3D%20AZ)
，则
，即
是 n 个正态随机变量的线性组合，且 %20%3D%20%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ena_%7Bi%2Cj%7DE(Z_%7Bj%7D)%20%3D%200)
和%20%3D%20%20%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ena_%7Bi%2Cj%7DD(Z_%7Bj%7D)%20%3D%20%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ena_%7Bi%2Cj%7D%5E2%20%3D%201)
,故是标准正态随机变量。
然后证明结论(1)的第二部分：是相互独立的。协方差 %20%20%3D%20)
，则 协方差 %20%3D%20Cov(%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ena_%7Bi%2Cj%7DZ_%7Bj%7D%2C%20%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5Ena_%7Bk%2Cl%7DZ_%7Bl%7D)%20%3D)
%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ena_%7Bi%2Cj%7Da_%7Bk%2Cj%7D%20%3D)
，即是两两不相关的，因为是正态随机变量，故是相互独立的。
最后证明结论(1)的第三部分：
。至此，结论(1)证明完毕。
现在我们使用结论(1)来证明命题。设矩阵 A 是 n 阶正交矩阵，是 A 的元素，其中 
；随机向量 ，其中
，即是标准正态随机变量且相互独立，则
；随机向量 ，即 Y 是 Z 经过正交变换 A 后得到的随机向量，其中 
；那么：
S%5E2%7D%7B%5Csigma%20%5E2%20%7D%20%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B(X_%7Bi%7D-%5Cbar%7BX%7D)%5E2%7D%7B%5Csigma%5E2%7D%20%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En(Z_%7Bi%7D%20-%20%5Cbar%7BZ%7D)%5E2%20%3D)
。因为是相互独立的标准正态随机变量，故S%5E2%7D%7B%5Csigma%20%5E2%20%7D%20)
服从自由度为 n-1 的卡方分布。
命题证毕。
