2020-04-03

由于上下文假设了所有的测度都是有限测度，因此几乎处处一致收敛等价于几乎处处收敛。

又因为依测度收敛的序列有几乎处处一致收敛的子列，故所有题目只需对依测度收敛证明。

22.

如果 $f = g \quad a.e.$ 不成立，设 $\mu(|f-g| > \delta) = \epsilon > 0$ 。由于 $f_n \to f, f_n \to g$ 依测度收敛，

所以存在N使得 $\mu(|f_N - f| > \delta /2) ，<img class=$ ，矛盾。

23.

因为 $\mu(|f-f_n| > \delta ) = \mu(|f-g_n| > \delta)$

24.

任取 $\epsilon, \delta$ 验证定义。

取 $\delta_2$ 使得当 $|x - x|, |y - y| < \delta_2$ 时， $|h(x,y) - h(x^\prime,y^\prime)| < \delta$ 。

25.

左推右：

由有限测度， $f_n \stackrel{a.e.}{\longrightarrow} f$ 等价于 $f_n$ 几乎处处一致收敛到 $f$ 。

因此 $\forall \epsilon$ ，存在测度空间的子集 $Y$ 使得 $f_n$ 在Y上一致收敛到f，且 $\mu(Y) < \epsilon$

所以 $\forall \delta$ ，存在N，使得 $\left\{ x : \sup_{n > N} |f_n(x) - f(x)| > \delta \right\} \subseteq Y$ ，因此 $\mu\left( \sup_{n > N } |f_n - f| > \delta\right) \leq \mu(Y) \leq \epsilon$

右推左：

令 $g_n = \sup_{k \geq n} |f_k - f|$ 。

取 $N_k$ 使得 $\mu(|g_{N_k}| > 1/k) 。记<img class=$

则 $f$ 在 $X \setminus \left( Y_1 \cup Y_2 \cup\cdots \right)$ 上一致收敛。且 $\mu(Y_1\cup Y_2 \cup \cdots) \leq \epsilon$

26.

(1)找 $N$ 使得 $n > N$ 时 $\mu(|f_n - f| > \delta_2) ，且<img class=$ 的那些样本点上都有 $\widetilde{f_n} \to f$

(2)不一定，取 $(\Omega, \mathscr{F}, P) = ([0,1), \mathscr{B}[0,1), L)$ 。

对于 $2^k <= n < 2^{k+1}$ ，取 $f(n)$ ：在 $[\frac{n-2^k}{2^k}, \frac{n-2^k+1}{2^k})$ 上取 $2^{2k}$ ，否则取 $0$ 。

27.

取 $N_1 < N_2 < N_3 < \cdots$ 使得任意 $i,j \geqslant N_k$ 都有 $\mu(|f_i - f_j| > \frac{1}{2^k}) 。</p><p>因此集合列<img class=$ ,k = 1,2,3...的上限集的测度是0。

这串函数满足(1)的要求。

考虑级数： $f_{N_1} + \sum_{k = 1}^\infty (f_{N_{k+1}} - f_{N_k})$ ，他几乎处处收敛。设收敛到的函数为 $f$ 。在不收敛的地方取 $f = 0$ 。

则 $f_{N_k}$ 几乎处处一致收敛到 $f$ 。

28.

验证定义：只需证对分布函数 $F$ 的每个连续点 $x$ 都有 $\lim_{n \to \infty} P(f_n + g_n \leqslant x) = F(x)$ 。

由于 $F$ 在 $x$ 处连续，只需证对任意 $\epsilon$ 都有： $\lim_{n \to \infty} P(f_n + g_n \leqslant x) \leqslant F(x+\epsilon) + \epsilon$ 和 $\lim_{n \to \infty} P(f_n + g_n \leqslant x) \geqslant F(x-\epsilon) - \epsilon$ 。

以第一个为例，也就是要证 $\lim_{n \to \infty} P(f_n + g_n \leqslant x) \leqslant \lim_{n \to \infty} P(f_n \leqslant x + \epsilon) + \epsilon$

$P(f_n + g_n \leqslant x) \leqslant P(f_n \leqslant x + \epsilon) + P(g_n \leqslant -\epsilon)$

又因为 $g_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 0$ ，所以 $P(g_n \leqslant -\epsilon) \to 0$ 。因此上式成立。

29.

不妨 $a = 0$ 。则 $f$ 的分布函数和常0函数的分布函数相同。

$P(|f_n - f| \geqslant \delta) = P(|f_n - 0| \geqslant \delta) = P(f_n \leqslant -\delta) + P(f_n \geqslant \delta) \leqslant F_n(-\delta) + 1 - F_n(\delta / 2)$

后者在 $n \to \infty$ 时趋于0.

最后编辑于：2020.04.03 15:55:57

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