2022年新高考全国卷题22
分值：12分
已知函数 (
是自然对数底数 )
（1）当 时，讨论函数
的单调性;
（2）当 时，证明：
.
【解答问题2】
定义域为 ,
当 时，
记
函数 在
上单调递增；
∴ 函数 在
上有唯一的零点；且零点在区间
内；
∴ 导函数 在
上有唯一的零点；且零点在区间
内；
记该零点为 , 则
,
;
∴
令 ,
则
∵ 函数 单调递增且
,
∴
又∵ ,
∴ ,
∴
∴
∵ 在
上单调递增；
,
,
∴ 当 ;
当 ;
∴ 是函数
的唯一极大值点，也是最大值点,
∴ . 证明完毕.
【提炼与提高】
这是2022年的压轴大题，难度确实比较高。
对于这类难题，多数老师会建议学生放弃。笔者认为：根据自己的实力，在考试中过程中放弃一部分题目，是正确的策略；但在备考过程中，还是应该勇敢地挑战难题，这样水平才会不断提高。假如见到难题就绕开，水平是难以提升的。
本题解答中用到的方法和技巧，在以前的考题中是出现过的。详见下节的相关考题。
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