函数与导数大题：2019年理数全国卷B题20

2019年理数全国卷B题20

已知函数 $f(x)= \ln x - \dfrac{x+1}{x-1}$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明有且仅有两个零点;

（2）设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，证明曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0, \ln x_0)$ 处的切线也是曲线 $y=e^x$ 的切线.

【解答第1问】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1)\cup(1,+\infty)$ .

$f(x)= \ln x - \dfrac{2}{x-1} -1$

$f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{(x-1)^2}$

$f'(x) = \dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2}$

$x \in (0,1), \; f'(x) \gt 0, f(x)$ 单调递增；

$x \in (1,+\infty), \; f'(x) \gt 0, f(x)$ 单调递增；

$f(\dfrac{1}{e^2}) = \dfrac{2}{e^2-1}-1 \lt 0$

$f(\dfrac{1}{e})=\dfrac{2}{e-1} \gt 0$

$f(2)=\ln 2 -3 \lt 0$

$f(e^2)=1-\dfrac{2}{e^2-1} \gt 0$

∵ $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递增， $f(\dfrac{1}{e^2}) \lt 0 \lt f(\dfrac{1}{e})$ ,

∴ $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 有且仅有一个零点；

∵ $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增， $f(2) \lt 0 \lt f(e^2)$ ,

∴ $f(x)$ 在区间 $(1,+ \infty)$ 有且仅有一个零点；

综上所述，函数 $f(x)$ 在定义域内有且仅有两个零点.

【解答第2问】

∵ $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，则 $\ln x_0 = \dfrac{x_0+1}{x_0-1}$

令 $t=\ln\dfrac{1}{x_0}$ , 则 $t=-\ln x_0 = - \dfrac{x_0+1}{x_0-1}$

$e^t=\dfrac{1}{x_0}$

点 $B(t,e^t)$ 是曲线 $y=e^x$ 上的点.

直线 $AB$ 的斜率为 $k_{_{AB}}=\dfrac{e^t-\ln x_0} { t -x_0} = \dfrac{1}{x_0}$

曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0, \ln x_0)$ 处的切线的斜率为 $k_{_A} = \dfrac{1}{x_0}$

曲线 $y=e^x$ 在点 $B(t,e^t)$ 处的切线斜率为 $k_{_B} = e^t = \dfrac{1}{x_0}$ .

所以，直线 $AB$ 同时是曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y=e^x$ 的切线，切点分别为 $A(x_0,\ln x_0)$ 和 $B(t,e^t)$ .

证明完毕.

【提炼与提高】

本题难度中等，涉及几方面的知识：

求导的方法和公式

根据导数判断函数的单调性

函数的零点定理

函数图像的切线与其导函数的关系

【回归教材】

『函数零点存在定理』是一个重要的定理. 《高中数学：必修一》中介绍了这一定理，并有配套习题.

参见下文：

从课本到高考的高中数学笔记：函数零点存在定理

【相关考题】

$\boxed{\mathbb{2021X22}}$

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