指数函数：2013年文数全国卷B题21

2013年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的极小值和极大值;

（Ⅱ）当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

$f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$

$f'(x)=(2x-x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$

因为 $e^{-x} \gt 0$ ，所以

$x \lt 0, \; f'(x) \lt 0, \;f(x)$ 单调递减 ,

$0 \lt x \lt 2, \; f'(x) \gt 0, \;f(x)$ 单调递增,

$x \gt 2, \; f'(x) \lt 0, \;f(x)$ 单调递减,

$f'(0)=0$ , 函数取得极小值 $f(0)=0$

$f'(2)=0$ , 函数取得极大值 $f(2)=4e^{-2}$

【解答问题Ⅱ】

$f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$

若切线税率为负数，则 $x \in (-\infty,0) \cup (2,+\infty)$

切线 $l$ 的方程为 $y=f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)$ , 相应的切点坐标为 $(x_0,f(x_0))$ .

设切线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(a,0)$ , 则 $0=f(x_0) + f'(x_0) (a-x_0)$

所以 $0=f(x)=x_0^{2} e^{-x_0} + (2x_0 -x_0^2)e^{-x_0}(a-x_0)$

∵ $e^{-x_0} \gt 0$ , ∴ $0=x_0^{2} + (2x_0 -x_0^2) (a-x_0)$

解得： $a=\dfrac{x_0(x_0-1)}{x_0-2}$

令 $t=x_0-2$ , 则 $t \in (-\infty,-2) \cup (0, +\infty)$ ,

$x_0=t+2, x_0=t+1$

$a=\dfrac{(t+2)(t+1)}{t}=3+t+\dfrac{2}{t}$

∵ $t \in (-\infty,-2) \cup (0, +\infty)$

∴ $(t+\dfrac{2}{t}) \in (-\infty, -3) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$

所以 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围为 $(-\infty,0) \cup (3+2\sqrt{2}, +\infty)$ .

【提炼与提高】

应用导函数讨论函数的单调性，并求极值，是高考中的常规题型。

应用导函数求函数图像的切线方程，也是常规应用。

在求截距的取值范围这一环节，将需要熟练地应用均值不等式（双勾函数）。

本题的特色在于，将几方面的应用综合起来。对于高中生来说，在较短的时间内将几个方面的知识综合起来，并求出正确答案，确实是一项考验。

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