指数函数：2013年文数全国卷B题21

2013年文数全国卷B题21

已知函数 f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}.

（Ⅰ）求 f(x) 的极小值和极大值;

（Ⅱ）当曲线 y=f(x) 的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

【解答问题Ⅰ】

f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x} 的定义域为 (-\infty,+\infty)

f'(x)=(2x-x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}

因为 e^{-x} \gt 0，所以

x \lt 0, \; f'(x) \lt 0, \;f(x) 单调递减 ,

0 \lt x \lt 2, \; f'(x) \gt 0, \;f(x) 单调递增,

x \gt 2, \; f'(x) \lt 0, \;f(x) 单调递减,

f'(0)=0, 函数取得极小值 f(0)=0

f'(2)=0, 函数取得极大值 f(2)=4e^{-2}

【解答问题Ⅱ】

f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}

若切线税率为负数，则 x \in (-\infty,0) \cup (2,+\infty)

切线 l 的方程为 y=f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0), 相应的切点坐标为 (x_0,f(x_0)).

设切线与 x 轴的交点坐标为 (a,0), 则 0=f(x_0) + f'(x_0) (a-x_0)

所以 0=f(x)=x_0^{2} e^{-x_0} + (2x_0 -x_0^2)e^{-x_0}(a-x_0)

∵ e^{-x_0} \gt 0, ∴ 0=x_0^{2} + (2x_0 -x_0^2) (a-x_0)

解得：a=\dfrac{x_0(x_0-1)}{x_0-2}

令 t=x_0-2, 则 t \in (-\infty,-2) \cup (0, +\infty),

x_0=t+2, x_0=t+1

a=\dfrac{(t+2)(t+1)}{t}=3+t+\dfrac{2}{t}

∵ t \in (-\infty,-2) \cup (0, +\infty)

∴ (t+\dfrac{2}{t}) \in (-\infty, -3) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)

所以 l 在 x 轴上截距的取值范围为 (-\infty,0) \cup (3+2\sqrt{2}, +\infty).

【提炼与提高】

应用导函数讨论函数的单调性，并求极值，是高考中的常规题型。

应用导函数求函数图像的切线方程，也是常规应用。

在求截距的取值范围这一环节，将需要熟练地应用均值不等式（双勾函数）。

本题的特色在于，将几方面的应用综合起来。对于高中生来说，在较短的时间内将几个方面的知识综合起来，并求出正确答案，确实是一项考验。

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