指数函数：2017年文数全国卷A题21

2017年文数全国卷A题21

已知函数 f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-a\right)-a^{2} x.

（1）讨论 f(x) 的单调性;

（2）若 f(x) \geqslant 0，求 a 的取值范围.

【解答问题1】

函数的定义域为 (-\infty,+\infty).

f(x)=e^{2x}-ae^x-a^2 x

f'(x)=2e^{2x}-ae^x-a^2=(e^x-a)(2e^x+a)

① 若 a=0, f(x)=e^{2x}, 该函数的定义域内单调递增；而且有 f(x) \gt 0

② 若 a \lt 0, e^x-a \gt 0

f'(\ln \dfrac {|a|}{2})=0

当 x \lt \ln \dfrac {|a|}{2}, f'(x) \lt 0，函数单调递减；

当 x \gt \ln \dfrac {|a|}{2}, f'(x) \gt 0，函数单调递增；

所以，当 x = \ln \dfrac {|a|}{2}，函数取得最小值 f_{min}=a^2(\dfrac{3}{4}- \ln \dfrac{|a|}{2})，

③ 若 a \gt 0, 2e^x +a \gt 0,

f'(\ln a) =0

当 x \lt \ln a, \; f'(x) \lt 0 ，函数单调递减；

当 x \gt \ln a, \; f'(x) \gt 0 ，函数单调递增；

所以，当 x=\ln a, 函数取得最小值 f_{min} = -a^2 \ln a

【解答问题2】

根据第1问的结论可知：

① 若 a=0, f(x)=e^{2x} \gt 0. 满足要求；

② 若 a \lt 0, f(x) \geqslant 0\ \Rightarrow\; \dfrac {3}{4}- \ln \dfrac {|a|}{2} \geqslant 0

\ln \dfrac {|a|}{2} \leqslant \dfrac {3}{4} \Rightarrow |a| \geqslant 2 e^{\frac{3}{4}}

\Rightarrow a \in [- 2 e^{\frac {3}{4}},0)

③ 若 a \gt 0, -a^2 \ln a \geqslant 0 \Rightarrow a \in (0, 1]

综上所述，若 f(x) \geqslant 0，则 a 的取值范围是 [- 2 e^{\frac {3}{4}},1].

【提炼与提高】

用导函数讨论函数的单调性，是高中数学的核心内容，也是高考的必考项目。

本题的特色在于：需要综合应用二次函数与指数函数的知识方可顺利解答。体现了高考命题的方向，值得注意。

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