对数函数：2016年文数全国卷C题21
设函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性;
（Ⅱ）证明当 时，
;
（Ⅲ）设 ，证明当
时，
.
【解答问题Ⅰ】
函数 的定义域为
.
当 , 函数
单调递增；
当 , 函数
单调递减；
当 , 函数取得最大值
.
【解答问题Ⅱ】
根据问题Ⅰ 的结论可知：
当 时，函数单调递减，所以
所以
又因为 ,
所以
令
此函数的定义域为 ,
当 ，函数
单调递增；
所以，当 ，
综上可得：当 时，
【解答问题Ⅲ：证法一】
令
因为 , 根据问题Ⅱ 的结论可得：
∴
,
所以， 单调递增.
因为
且 在区间
单调递增，所以，
存在 , 使得
对于 , ∴
;
对于 , ∴
;
综上可得：当 时，
, 也就是：
. 证明完毕.
【解答问题Ⅲ：证法二】
从幂函数角度分析。
记
为不变参数且
为变量且
显然，
,
又∵ , ∴
函数 在区间
上单调递减， 所以，
,
,
. 证明完毕.
【提炼与提高】
本题三问，考查内容较为全面，尤其是问题三，解法很有典型性。值得重视。
（1）利用导函数讨论函数的单调性，这是常规操作。
（2）在某些问题中，需要二次求导。如证明方法一所示，根据 的正负性讨论
的单调性。
（3）证法一的特色在于：根据 的正负性判断
的单调性和零点个数，从而将我们关注的区间分为两段。在两个区间中分别讨论，最后再整合结论，完成证明。
（4）证法二的特色在于：改变了看问题的角度。将 看作是幂函数而不是指数函数。从上面的解答过程来看，证法二显得更简洁一些。对于多数中学生来说，
代表变量而
代表常量。长期形成了这个习惯，要换过来并不容易。
是指数函数，
是变量，
是常量；其导函数
是幂函数，
是常量，
是变量；其导函数
最后强调一下：题海战术不可取；一题多解效率高。
