指数函数与对数函数：2018年文数全国卷A题21

2018年文数全国卷A题21

已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1$ .

（1）设 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $a$ ，并求 $f(x)$ 的单调区间;

（2）证明∶当 $a \geqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $f(x) \geqslant 0$ .

【解答问题1】

函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ .

$f'(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}$

若 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f'(2)=0$ ,

$ae^2=\dfrac{1}{2}$

$a=\dfrac{1}{2e^2}$

【分析问题2】

当 $a \geqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $ae^x \geqslant e^{x-1}$

所以，只要证明 $e^{x-1} - \ln x -1 \geqslant 0$ 即可.

【解答问题2】

记 $g(x)=e^{x-1} -\ln x -1$

该函数的定义域为 $(0,+\infty)$

$g(0)=0$

$g'(x)=e^{x-1} - \dfrac{1}{x}$

$g'(0)=0$

$\forall x \in (0,1), g'(x) \lt 0$ , $g(x) \gt g(0)$

$\forall x \in (1,+\infty), g'(x) \gt 0, g(x) \gt g(0)$

$\Rightarrow \forall x \in (0,+\infty), e^{x-1} -\ln x -1 \geqslant 0$

当 $a \geqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $ae^x \geqslant e^{x-1}$

所以，当 $a \geqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $f(x) \geqslant 0$ . 证明完毕.

【提炼与提高】

这个文科考题难度较低，适合在备考初期练手.

关于指数函数和对数函数，以下不等式经常用到，务必牢记在心。

$\boxed{e^x \geqslant x+1}$

$\boxed{\ln x \leqslant x-1}$

以上两式中，等号仅当 $x=1$ 时成立.

最后编辑于：2021.10.24 09:26:11

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