指数函数与对数函数：2018年文数全国卷A题21

2018年文数全国卷A题21

已知函数 f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1.

（1）设 x=2 是 f(x) 的极值点，求 a，并求 f(x) 的单调区间;

（2）证明∶当 a \geqslant \dfrac{1}{e} 时，f(x) \geqslant 0 .

【解答问题1】

函数 f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1 的定义域为 (0,+\infty).

f'(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}

若 x=2 是 f(x) 的极值点，则 f'(2)=0 ,

ae^2=\dfrac{1}{2}

a=\dfrac{1}{2e^2}

【分析问题2】

当 a \geqslant \dfrac{1}{e} 时，ae^x \geqslant e^{x-1}

所以，只要证明 e^{x-1} - \ln x -1 \geqslant 0 即可.

【解答问题2】

记 g(x)=e^{x-1} -\ln x -1

该函数的定义域为 (0,+\infty)

g(0)=0

g'(x)=e^{x-1} - \dfrac{1}{x}

g'(0)=0

\forall x \in (0,1), g'(x) \lt 0, g(x) \gt g(0)

\forall x \in (1,+\infty), g'(x) \gt 0, g(x) \gt g(0)

\Rightarrow \forall x \in (0,+\infty), e^{x-1} -\ln x -1 \geqslant 0

当 a \geqslant \dfrac{1}{e} 时，ae^x \geqslant e^{x-1}

所以，当 a \geqslant \dfrac{1}{e} 时，f(x) \geqslant 0 . 证明完毕.

【提炼与提高】

这个文科考题难度较低，适合在备考初期练手.

关于指数函数和对数函数，以下不等式经常用到，务必牢记在心。

\boxed{e^x \geqslant x+1}

\boxed{\ln x \leqslant x-1}

以上两式中，等号仅当 x=1 时成立.

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容