对数函数：2017年文数全国卷C题21
已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性;
（Ⅱ）当 时，证明
.
【解答问题Ⅰ】
函数 的定义域为
.
, 定义域为
.
变形后得：
（1）若 , 则
, 函数在定义域内单调递增；
（2）若 ，则在
区间内，
,
函数 在定义域内单调递增；
（3）若 , 则
当 ，函数
单调递增；
当 ，
，函数
单调递减；
【解答问题Ⅱ】
根据前节的推导可知，若 , 则
令 , 则
当
当
所以，
又因为 , 所以
, 所以：
. 证明完毕.
【提炼与提高】
解答本题需要闯过以下关卡：
（1）求导函数，并利用导函数讨论原函数的单调性；
（2）问题2用到了对数函数的以下性质：
注意这不是定理，而是常用结论。所以我们构造了一个函数 , 简单明了地认证了对数函数的这一性质.
（3）当前高考命题的一个方向和趋势，是考查学生应用基础知识解决实际问题的能力。在本题中也有体现。
在本题第2问中需要注意： 是一个负数，负数不能求对数；
和
是正数，所以是有对数的；
在上面的推导过程中，我们为 加上了括号，就是想强调这点。在进一步的讨论中，用
来代替
，就更加清楚。
还有这个公式注意下：
以上公式可以用文字来表述：一个正数的对数的相反数等于该数的倒数的相反数。
或者：若两个数互为相反数，则它们的对数的和等于 .
这个公式并不是什么高深的知识，但在考试中出错的几率还是有点高。
应对这类问题，平时一定要多作总结，不要盲目刷题。
