对数函数：2017年文数全国卷C题21

对数函数：2017年文数全国卷C题21

已知函数 f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x.

（Ⅰ）讨论 f(x) 的单调性;

（Ⅱ）当 a \lt 0 时，证明 f(x) \leqslant - \dfrac {3}{4a} -2.

【解答问题Ⅰ】

函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty).

f'(x) = \dfrac {1}{x} + 2ax + (2a+1), 定义域为 (0,+\infty).

变形后得：

f'(x) = \dfrac {2ax^2+(2a+1)x+1}{x}

f'(x) = \dfrac { (2ax+1) (x+1)} {x}

（1）若 a = 0, 则

f(x)=\ln x+x, 函数在定义域内单调递增；

（2）若 a \gt 0，则在 (0,+\infty) 区间内，f'(x) \gt 0,

函数 f(x) 在定义域内单调递增；

（3）若 a \lt 0, 则

当 0 \lt x \lt - \dfrac {1}{2a}, \; f'(x) \gt 0，函数 f(x) 单调递增；

当 x \gt - \dfrac {1} {2a}，f'(x) \lt 0，函数 f(x) 单调递减；

【解答问题Ⅱ】

根据前节的推导可知，若 a \lt 0, 则 f_{max} = f(\dfrac {-1}{2a})

= - \dfrac {1}{4a} - \ln (-2a) -1

= \dfrac {1}{2} (\dfrac {1}{-2a}) + \ln \dfrac {1}{(-2a)} -1

令 g(t)= \ln t -(t-1), 则

g'(t) = \dfrac {1}{t} -1

g(1)=0, \; g'(1)=1

当 0 \lt t \lt 1, g'(t) \gt 0;

当 \gt 1, g'(t) \lt 0;

所以，g(t) \leqslant 0, \ln t \leqslant t-1

又因为 a \lt 0, (\dfrac {1}{-2a}) \gt 0, 所以

\ln \dfrac {1}{(-2a)} \leqslant \dfrac {1}{(-2a)} -1, 所以：

f(x) \leqslant - \dfrac {3} {4a} - 2. 证明完毕.

【提炼与提高】

解答本题需要闯过以下关卡：

（1）求导函数，并利用导函数讨论原函数的单调性；

（2）问题2用到了对数函数的以下性质：

\boxed{ \ln x \leqslant x-1}

注意这不是定理，而是常用结论。所以我们构造了一个函数 g(t)= \ln t -(t-1), 简单明了地认证了对数函数的这一性质.

（3）当前高考命题的一个方向和趋势，是考查学生应用基础知识解决实际问题的能力。在本题中也有体现。

在本题第2问中需要注意：a 是一个负数，负数不能求对数；(-2a) 和 (\dfrac {1}{-2a}) 是正数，所以是有对数的；

在上面的推导过程中，我们为 -2a 加上了括号，就是想强调这点。在进一步的讨论中，用 t 来代替 (\dfrac {1}{-2a})，就更加清楚。

还有这个公式注意下：

\boxed {- \ln ({-2a})= \ln(\dfrac {1}{-2a}) }

以上公式可以用文字来表述：一个正数的对数的相反数等于该数的倒数的相反数。

或者：若两个数互为相反数，则它们的对数的和等于 0.

这个公式并不是什么高深的知识，但在考试中出错的几率还是有点高。

应对这类问题，平时一定要多作总结，不要盲目刷题。

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