指数与对数客观题：2018年理数全国卷C题12

2018年理数全国卷C题12

12.设 $a=\log_{0.2}0.3,\; b=\log_20.3$ ，则

$A.a+b \lt ab \lt 0 \qquad B.ab \lt a+b \lt 0 \qquad$
$C.a+b \lt 0 \lt ab \qquad D.ab \lt 0 \lt a+b$

【解答】

$\dfrac{1}{a}=\log_{0.3} 0.2,\;\dfrac{1}{b}=\log_{0.3} 2$

函数 $f(x)=\log_{0.3} x$ 具备如下性质：

定义域为 $(0,+\infty)$ ，在定义域上单调递减；

$f(1)=0,\;f(0.3)=1$

若 $x \in (0,0.3)$ ，则 $f(x) \in (1,+\infty)$ ；

若 $x \in (0.3,1)$ ，则 $f(x) \in (0,1)$ ；

若 $x \in (1,+\infty)$ ，则 $f(x) \in (-\infty,0)$ ；

∴ $\dfrac{1}{a} \gt 1,\; 0 \lt a \lt 1$ ; $\dfrac{1}{b} \lt 0, b \lt 0$

$\dfrac {1}{a} + \dfrac {1}{b} = \dfrac {a+b}{ab} = \log_{0.3}(0.2\times 2)=\log_{0.3}0.4$

∴ $0 \lt \dfrac{a+b}{ab} \lt 1$

又∵ $a \gt 0, b \lt 0, ab \lt 0$ ,

∴ $0 \gt a+b \gt ab$

结论：选项B正确。

【提炼与提高】

按照目前高考命题的习惯，编号12和16的客观题属于拉开差距的压轴题，难度要高一些。所谓难度高，并不是用到了什么特别高深的知识，而是要求考生把多个方面的知识综合起来，灵活应用。本题就是一道典型的压轴题。

本题解答过程中需要综合以下几方面的知识：

『换底公式的推论』

$\boxed{\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}}$

『对数函数的单调性』

若 $0 \lt a \lt 1$ ，则函数 $f(x)=\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；

『对数函数的特殊值』

$\log_a 1 =0, \;\log_a a=1$

『不等式的性质』

$a \lt b, c \lt 0 \;\Rightarrow\; a \gt b$

最后编辑于：2021.10.22 22:21:36

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