对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21
设函数 .
（I）讨论 的导函数
零点的个数;
（Ⅱ）证明∶当 时，
.
【解答问题I】
的定义域为
, 定义域为
令
, 在
区间，
,
所以，函数 在
上单调递增，其值域为
（1）若 ，则函数
没有零点，方程
无解，导函数
零点的个数为 0;
（2）若 ，则函数
有1个零点，方程
有1个解，导函数
零点的个数为 1;
【解答问题Ⅱ】
根据前节讨论，当 时，导函数
存在1个零点.
记此零点为 , 则
,
所以，. 证明完毕.
【提炼与提高】
『方程与函数』
本题第1问是函数的零点问题。解答过程中应用了转化的思想：先把零点问题转化为方程问题；转化为另外一个函数的零点问题。
转化是高中数学的重要思想，本题是典范的实例。
『利用导函数讨论函数的单调性与零点个数』
这是导数部分的常见问题，要熟练掌握。在高考中，可能直接考查；还有可能间接考查。
『基本不等式』
若 ，则
基本不等式用途广泛，在所有版块的考题中都有可能用到。
『导函数的定义域』
导函数与原函数的关系，犹如“毛与皮”。俗话说：皮之不存：毛将焉附？导函数的定义域不能超出原函数的定义域。
『常用复合函数』
本题用到了以下函数：
这是高考中最常见的复合函数之一。对这类函数的性质，平时训练中就要多加留意，以免临场慌乱。
