视频链接：线性代数的本质 - 系列合集
0. 预览
线性代数的几何直观与数值计算的关系。
1. 向量究竟是什么？
三种观点：
- 物理学视角：向量是空间中的箭头，由长度和所指方向决定。
- 计算机视角：有序的数字列表。
- 数学视角：保证加法和数乘有意义即可。
两种基本运算：向量加法与向量数乘。
数乘：缩放（scaling），将数字称为标量（scalar）。
2. 线性组合、张成的空间与基
基向量。
所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合，被称为给定向量 张成的空间（span）。
张成的空间与线性相关的关系。
例如：
在三维空间中，有两个线性无关的向量，如果添加的第三个线性有关的向量，那么张成的空间始终是一个二维平面。
向量空间的一个 <font color="blue">基</font > 是 <font color=yellow>张成</font> 该空间的一个 <font color=green>线性无关</font> 向量集。
3. 矩阵与线性变换
线性变换：
- 直线变换后依旧是直线
- 原点保持固定
只要记录变换后的和
（基向量），就可以推断出任意向量在变换后的位置。
可以将矩阵的列看作变换后的基向量（将矩阵看作空间的变换）。
4. 矩阵乘法与线性变换复合
从右向左读。
5. 行列式
测量一个给定区域，经过线性变换之后，面积增大或减小的比例。
以为底边，以
为左边的
方形，经过变换
变换
线性变换改变面积的比例，称为线性变换的 <font color=yellow>行列式</font>。
一个二维线性变换的行列式为0，说明它将整个平面压缩到一条线，甚至一个点上。
可以注意到，行列式的两列是线性相关的。
考虑线性变换的行列式是否为0，就可以知晓这个矩阵代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上。
对于行列式为负数的情况，直观上可以说是变换将整个空间翻转了。
变换过程
这样的变换改变了空间的定向（或者说改变了基向量的相对位置）。
三维或更高维的空间同理。
