chpt.1 模型系统的态(4)

\boldsymbol{\mathrm{I}}. 重性函数的锐度

\bullet保持温度恒定的系统通常具有较为稳定的性质,物理状态的稳定性是热物理能做出的主要预言。

\bullet稳定性通常伴随着重性函数尖峰的出现,而远离尖峰的点的状态通常会急剧地变化。

(i)

我们接下来要证明,对于一个N非常大的系统(N >\!> 1,\; |s|),重性函数会在<img class=),s = 0的点附近会出现尖峰。

我们需要先寻找一个函数g(N,s)关于s的近似。

根据之前的定义,重性函数

g(N,s) = \frac{N!}{(\frac{1}{2}N + s)!(\frac{1}{2}N-s)!}

由于这时的N非常非常大(N \sim 10^{20}),使用重性函数的自然对数\log g(底为e)进行运算会更方便。

根据对数函数的基本性质,可以得到:

\log g(N,s) = \log N! - \log(\frac{1}{2}N+s)! - \log(\frac{1}{2}N -s)!

使用之前的表示:

\begin{align*}N_{\uparrow} &= \frac{1}{2}N + s; & N_{\downarrow} = \frac{1}{2}N - s\end{align*}

进一步得到:

\boxed{\log g(N,s) = \log N! - \log N_{\uparrow}! - \log N_{\downarrow}!}

(ii)

计算\log N!,我们需要用到斯特灵近似(Stirling approximation):

N! \simeq (2\pi N)^{1/2}N^N\exp[-N+1/(12N)+...] ,\quad N>\!>1

N足够大时,幂数中的1/(12N) +...可以被忽略。

于是有:

\log N! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N + \frac{1}{2}\right)\log N -N

使用同样的方法,我们可以得到:

\boxed{\log N_{\uparrow}! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N_{\uparrow} + \frac{1}{2}\right)\log N_{\uparrow} -N_{\uparrow}}

\boxed{\log N_{\downarrow}! \cong \frac{1}{2}\log 2\pi + \left(N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log N_{\downarrow} -N_{\downarrow}}

(iii)

\log N!加上并减去\frac{1}{2}\log N,再利用关系N = N_{\uparrow} + N_{\downarrow},可将其改写成

\boxed{\log N! \cong \frac{1}{2}\log(2\pi/N) + \left(N_{\uparrow} + \frac{1}{2} + N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log N - (N_{\uparrow} + N_{\downarrow})}

(iv)

(ii)(iii)方框中的表达式代入(i)得到

\boxed{\log g = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{2\pi N}\right) - \left(N_{\uparrow}+\frac{1}{2}\right)\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) - \left(N_{\downarrow} + \frac{1}{2}\right)\log\left(\frac{N_{\downarrow}}{N}\right)}

(v)

其中

\begin{align*}\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) &= \log\left(\frac{\frac{1}{2}N + s}{N}\right) = \log\frac{1}{2}\left(1 + \frac{2s}{N}\right)\\&= -\log 2 + \log\left(1 + \frac{2s}{N}\right)\end{align*}

\log\left(1+\frac{2s}{N}\right)使用泰勒展开,有

\log\left(1 + \frac{2s}{N}\right) = \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}+...

可以得到

\boxed{\log\left(\frac{N_{\uparrow}}{N}\right) \cong -\log 2 + \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}}

同理,

\boxed{\log\left(\frac{N_{\downarrow}}{N}\right) \cong -\log 2 - \frac{2s}{N} - \frac{2s^2}{N^2}}

(vi)

(v)方框中的表达式代入(iv),整理后可得:

\begin{align*}\log g &\cong \frac{1}{2}\log\left(\frac{2}{\pi N}\right) + N\log 2 - \frac{2s^2}{N} + \frac{2s^2}{N^2}\\&\cong \frac{1}{2}\log\left(\frac{2}{\pi N}\right) + N\log 2 - \frac{2s^2}{N}\end{align*}

(当N非常大时,可略去二次反比项)

所以

\boxed{g(N,s) \cong g(N,0)\exp(-2s^2/N)}

其中

g(N,0) = \sqrt{\frac{2}{N\pi}}\;2^N

我们如愿地得到了近似后的重性函数,它是一个关于s的分布函数,被称为高斯分布(Gaussian distribution)

g(100,s)的高斯近似。可见,仅仅是N = 100,二者就基本看不出任何差别了。虚线处是最大值刚好减少1/e(大约37\%)时的位置

(vii)

\bulletN越来越大,趋近无穷时,重性函数将会越来越接近高斯分布。

N \rightarrow \inftyg(N,s) \rightarrow g(N,0)\exp(-2s^2/N)

所以

\lim_{N \rightarrow \infty}\sum_{s = -\frac{1}{2}N}^{\frac{1}{2}N} g(N,s) \cong \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds

为什么?

因为当N \rightarrow \infty时,比值

\frac{\sum_{s=0}^{N}s}{\int_0^Nsds} = \frac{\frac{1}{2}(N^2 + N)}{\frac{1}{2}N^2} \rightarrow 1

两者的差距只会越来越小。这时求和就可以直接被近似成求积。

任意的一般完整高斯积分都可以使用伽马函数(gamma function)进行快速计算。

\bullet在这里我展示一种稍麻烦但更直接的方法:

设原始积分为I_0,则

I_0 = \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds

x = \sqrt{\frac{2}{N}} s进行替换,可以得到:

I_0 = \sqrt{\frac{N}{2}}g(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx

这是个一维积分,路径是整条x轴。

我们同时也可以有:

I_0 = \sqrt{\frac{N}{2}}g(N,0)\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy

它和上面的积分有同样的值,不过现在路径是整条y轴。

将这两个积分乘起来,我们得到:

\begin{align*}I_0^2 &= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\left(\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\right)\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{\infty}e^{-(x^2 + y^2)}dxdy\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\iint_{\text{entire plane}}e^{-(x^2 + y^2)}dA\end{align*}

这是一个二维面积积分,范围是整个平面。

使用极坐标,r^2 = x^2 + y^2

\begin{align*}I_{0}^2 &= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{r = 0}^{\infty}\int_{\phi = 0}^{2\pi} re^{-r^2}drd\phi\\&= \frac{N}{2}g^2(N,0)\int_{\phi = 0}^{2\pi}d\phi\int_{r= 0}^{\infty}re^{-r^2}dr\\&= \frac{\pi N}{2}g^2(N,0)\end{align*}

最后再开根号

\begin{align*}I_0 &= \int_{s = -\infty}^{\infty}g(N,0)\exp(-2s^2/N)\;ds = \sqrt{\frac{N\pi}{2}}g(N,0)\\&= \sqrt{\frac{N\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{N\pi}}\;2^N\\&= 2^N\end{align*}

\bullet得到结论:N接近无穷时,高斯分布在全体实域上的积分等于系统总的态个数。

(viii)

根据(i),可以得到g(N,0)的准确值:

g(N,0) = \frac{N!}{(\frac{1}{2}N)!(\frac{1}{2}N)!}

(ix)

我们通常将高斯分布峰值的1/e处所对应的宽度用来描述分布的大致宽度。

\frac{2s^2}{N} = 1

可以得到

s^2 = \frac{N}{2}

或着

\frac{s}{N} = \sqrt{\frac{1}{2N}}

(例)

N \sim 10^{22},代入上式可以发现\frac{s}{N} \sim 10^{-11}

此时N将是尖峰宽度的一千亿倍!所以,我们可以说,当系统中存在的微粒数量越多时,重性函数的锐度就越大,系统就越倾向于稳定态。


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