数学考试题怎么“猜”?教你两招,做题又快又准

部分考生对数学的“猜”有误解,认为它与数学的严谨性是矛盾的。实则不然,数学的“猜”历史悠久,比如著名的费马大定理、哥德巴赫猜想。它们都是数百年前著名数学家作出的猜测,对它们的研究也促进了数学的发展。




猜,是一种奇妙的方法,他在许多数学题型中都发挥着重大作用,当我们无法利用常规渠道解出一道题时,不妨使用“猜”,将问题答案慢慢推敲出来




但要强调的是,数学的猜不是瞎猜,不是掷骰子扔硬币,也不是形如“三短一长选最长”的诀窍,而是在数学逻辑、推理的基础上,作出的有根据地、相对精确的猜想。




遗憾的是,许多考生不理解这一点,在面对选填题时,永远处于两个极端。




如何进行数学猜想呢


对数字结果进行估计


估计结果不是什么高端技巧,绝大多数考生都有这样一个意识:考生中结果通常比较“规整”,如果算出一个特别“奇葩”的数字,很可能是算错了。这就是最简单的结果估计。

更进一步,可以看这样一个例子。




如果能够估算出a是0~1之间,b是小于-1,那么就能估计出a+bab都是负数,选项C、D一定错误,正确答案只会在A、B之间。


这样的估算本身不难,考生往往想不到去做估算,看到是最难的一道选择题就直接放弃,4选1瞎蒙一个,试图去赌25%的“命中率”。可哪怕去赌,估算之后再赌,50%的“命中率”是不是也要比25%要高?


用特例进行猜想

 

当年哥德巴赫在进行猜想时,就是检验了4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7……一系列的大偶数,才得到“大于2的偶数可以分成两个质数之和”。




一个普遍性的结论如果正确,那么它对其中每一个特例也一定正确。根据有限的特例,我们也能归纳猜想出一个可能正确的普遍性结论。


这种方法在数列中经常见到,比如若无法直接求出数列的通项公式an,可以先根据前几项a1,a2,a3……猜想一个,然后再证明(2020年新课标Ⅲ·理17(1)考的就是这个)。在其它领域,这种方法同样可用。




题目中给出的是普遍性结论,对所有三角形都成立,那么它应该对任意特殊三角形也成立。于是可以特殊化为等腰直角三角形,通过建立平面直角坐标系直接算出结果。


“猜”这种方法,除了用在不确定结果的时候,还可以用在检查上。许多同学不检查结果的原因就是觉得重做一遍太浪费时间,但如果用上文中给出的方法,可以快速查验结果。比如求出通项公式an之后,用n=1代入检验,倘若连a1都算不对,这个an可能正确么?




可以看到,尽管是在“猜”,但思路上依旧是“先分析问题、然后按逻辑思考”,依旧是数学思维。万变不离其宗,掌握数学思维,才是提升数学水平的关键。


数学是一门逻辑的学科,更是一门逻辑语言,所以说推理的过程特别重要,而在我们的图谱里,它把这个推理的过程都给你写出来、把思维的模式都给你写出来、把现实中的实际应用相结合。

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