根据之前的内容我们了解到，循环坐标所对应的共轭动量守恒：
使用拉格朗日方程和哈密顿方程，我们也可以得到相同的结论：
所以，共轭于正则动量的坐标如果是循环坐标：
我们发现，拉格朗日函数若不含有循环坐标，哈密顿函数将同样不含有该坐标。换句话说，如果某一广义坐标没有显性出现在哈密顿函数中，其对应的正则动量将是一个守恒量。所有之前关于拉格朗日体系的守恒定理均可原封不动地（除了把
替换成
）应用在哈密顿体系中。
。若系统的拉格朗日函数不显含时间
，系统的哈密顿函数将是一个不依赖时间的常数。
该结论也可通过直接求哈密顿函数对时间的全导得到：
又因为
于是
所以，如果拉格朗日函数不含有时间，那么哈密顿函数也将同样不显含时间。
的形式。但需要注意的是，哈密顿函数是否表示总能量，于其是否为守恒量完全是两个概念。两个概念彼此并不冲突，一个条件被满足并不意味着另一个就会被满足。即，有些情况下，哈密顿函数不显含时间，但不具有总能量的形式。
）；与拉格朗日函数不同，哈密顿函数的数值大小和形式都取决于广义坐标的选取。也就是说，很多时候，哈密顿函数完全有可能在一组广义坐标下守恒，而在另一组却不守恒；在一组坐标下具有形式
（例）
为了更进一步理解哈密顿函数这一特点，让我们来看一个很简单的例子：
一个质量为的质点，被连接在一根劲度系数为
的弹簧一端；弹簧另一端被固定在了一个，在外力驱动下，沿
轴以常速度
水平移动的小车上。
的位置，并将质点的水平位置
选为广义坐标。
很明显，拉格朗日函数为：
解该运动方程，设地面参考系为
，不妨另选一个参考系
，它相对地面参考系具有速度
，即，该参考系与小车保持相对静止。
使用伽利略变换：
这样一来，运动方程就变为了：
这是一个二阶线性齐次微分方程。
令
，特征方程变为：
它有两个复根：
，
利用欧拉恒等式，通解可以表示为三角函数的形式：
；
，
，
可见，对于小车保持相对静止的观测者而言（坐在小车上），质点只是单纯地在做简谐振荡，而这一结论也同样符合伽利略相对论原理。
由于这时的广义坐标是笛卡尔坐标，势函数不显含广义速度，所以哈密顿函数将具有总能量的形式：
可见，这种情况下的哈密顿函数虽然代表总能量，但由于显含时间，所以并不是一个守恒量。原因在于，能量必须时刻流入并流出系统，来保证小车始终能够克服谐振子的运动并保持匀速。（系统内部存在一个非定常约束，此时的约束力做实功）。
其中
是拉式函数对速度的二阶项；
是速度的一阶项；
包括了速度的零阶项以及常数项。
由于具备了充足条件，可将拉式函数用矩阵形式表示：
其中
，
，
。
注意：最后一项既不含坐标也不含速度，所以即便被舍去也不会对最后的运动方程造成任何影响。
总结
上述的例子证明了哈密顿函数不同于拉格朗日函数的一点。面对同一个系统，通过使用不同的参考系，我们得到了两组完全不同的哈密顿函数，这两组函数在数值上，时间依赖以及函数变化上均不相同。即便哈密顿函数深受广义坐标选取的影响，最后得到的运动方程始终都会是同一个，所以作为使用者的我们，更关心的该是如何选择一组广义坐标能够使得计算量达到最小才对。
