形态学图像处理

以下为二值图像

有结构元 $B$ ，集合 $A$ 。结构元具有原点，原点可以自己确定，一般为重心位置。

腐蚀

$A{\ominus}B=\left\{z|(B)_z{\cap}A^c={\phi}\right\}$

$A^c$ 为A的补集。结构元 $B$ 在 $A$ 中移动， $B$ 的原点为边界
膨胀

$A{\oplus}B=\left\{z|(B)_z{\cap}A{\ne}{\phi}\right\}$

$B$ 在 $A$ 外移动(边界确定)，但需要和 $A$ 有交集。 $B$ 的原点为边界
开操作

$A{\circ}B=(A{\ominus}B){\oplus}B$

$B$ 在 $A$ 中移动，且边界为 $B$ 的外边界（外边界值围成的范围更大的边界。以圆片绕圆片外一点旋转为例，形成一个圆环，半径更大的为外边界，半径更小的为内边界）

开操作抑制比结构元小的亮细节
闭操作

$A{\bullet}B=(A{\oplus}B){\ominus}B$

$B$ 在 $A$ 外移动，但需要和 $A$ 有交集。边界为 $B$ 的内边界

闭操作抑制比结构元小的暗细节
边界提取

${\beta}(A)=A-(A{\ominus}B)$

即将原图缩小以后用原图相减获取原图的边缘
孔洞填充

$X_k=(X_{k-1}{\oplus}B){\cap}A^c$ $k=1,2,3,...$

$A$ 是一个含孔洞的边界，对 $A$ 求补以后，获得 $A$ 以外的所有区域（包括孔洞和边界外的区域）。 $X_0$ 是孔洞中的一点。

{使用结构元对 $X_0$ 膨胀，并与 $A^c$ 求交集，赋值给 $X$ }，不断迭代这个过程，直到不再发生改变，获得孔内部分。再与 $A$ 求并集求得填充好的图像。
连通分量提取

$X_k=(X_{k-1}{\oplus}B){\cap}A$ $k=1,2,3,...$

$X_0$ 是分量中的一点。{使用结构元对 $X_0$ 膨胀，并与 $A$ 求交集，赋值给 $X$ }，不断迭代这个过程，直到不再发生变化，获得一个连通分量。

形态学重建

$F$ 为标记图像， $G$ 为模板图像。 $B$ 为结构元

测地膨胀

$D_G^{(1)}(F)=(F{\oplus}B){\cap}G$

$D_G^{(1)}(F)$ 表示标记图像 $F$ 关于模板 $G$ 的测地膨胀

将 $F$ 通过结构元 $B$ 进行膨胀，之后将膨胀后的 $F$ 与 $G$ 求交集

模板 $G$ 限制了标记图像 $F$ 的生长
测地腐蚀

$E_G^{(1)}(F)=(F{\ominus}B){\cup}G$

$E_G^{(1)}(F)$ 表示标记图像 $F$ 关于模板 $G$ 的测地腐蚀
膨胀形态学重建

$R_G^D(F)=D_G^{(k)}(F)$

$R_G^D(F)$ 表示标记图像 $F$ 关于模板 $G$ 的 $k$ 次测地膨胀后，获得的重建结果

{将 $F$ 通过结构元 $B$ 进行膨胀，之后将膨胀后的 $F$ 与 $G$ 求交集}，不断迭代这个过程，直至 $F$ 不再发生变化( $D_G^{(k)}(F)=D_G^{(k+1)}(F)$ )，获得测地膨胀结果 $D_G^{(k)}(F)$ ， $k$ 指重复 $k$ 次后获得结果
腐蚀形态学重建

$R_G^E(F)=E_G^{(k)}(F)$

$R_G^E(F)$ 表示标记图像 $F$ 关于模板 $G$ 的 $k$ 次测地腐蚀后，获得的重建结果

{将 $F$ 通过结构元 $B$ 进行腐蚀，之后将腐蚀后的 $F$ 与 $G$ 求并集}，不断迭代这个过程，直至 $F$ 不再发生变化( $E_G^{(k)}(F)=E_G^{(k+1)}(F)$ )，获得测地腐蚀结果 $E_G^{(k)}(F)$ ， $k$ 指重复 $k$ 次后获得结果
重建开操作

$O_R^{(n)}(F)=R_F^D[(F{\ominus}nB)]$

重建开操作过程，首先使用结构元 $B$ 对原图像 $F$ 进行 $n$ 次腐蚀获得腐蚀后的图像 $F^{\prime}$ 。之后用原图像 $F$ 作为模板，对 $F^\prime$ 进行膨胀形态学重建。最终结果为重建开操作结果

重建开操作，可以腐蚀掉一些图像中不想保留的部分，而留下想保留的部分
重建闭操作

$C_R^{(n)}(F)=R_F^E[(F{\oplus}nB)]$

重建闭操作过程，首先使用结构元 $B$ 对原图像 $F$ 进行 $n$ 次膨胀获得膨胀后的图像 $F^{\prime}$ 。之后用原图像 $F$ 作为模板，对 $F^\prime$ 进行腐蚀形态学重建。最终结果为重建闭操作结果

灰度级形态学

腐蚀

$[f{\ominus}b](x,y)=\min \limits_{(s,t){\in}b}\{f(x+s,y+t)\}$

结构元 $b$ 在图像 $f$ 中移动，用结构元 $b$ 在图像 $f$ 中 $(x,y)$ 点处进行腐蚀时， $(x,y)$ 处的值为 $f$ 与 $b$ 重合部分的最小值

腐蚀后图像变暗
膨胀

$[f{\oplus}b](x,y)=\max \limits_{(s,t){\in}b}\{f(x-s,y-t)\}$

结构元 $b$ 在图像 $f$ 外移动(边界确定)，但需要有交集，用结构元在(x,y)点处进行膨胀时， $(x,y)$ 处的值为 $f$ 与 $b$ 重合部分的最大值

膨胀后图像变亮
开操作

$A{\circ}B=(A{\ominus}B){\oplus}B$

把灰度图像看成三维图像，灰度级作为第三维，开操作用结构元降低了原图中的峰值。("削平"了"山峰")
闭操作

$A{\bullet}B=(A{\oplus}B){\ominus}B$

把灰度图像看成三维图像，灰度级作为第三维，闭操作用结构元提高了原图中的谷值。("填充"了"谷底")
形态学梯度

$g=(f{\oplus}b)-(f{\ominus}b)$

获得膨胀和腐蚀之差，根据结构元大小不同，获得强调区域的图像边界
顶帽变换

$T_{hat}(f)=f-(f{\circ}b)$

顶帽变换为原图像减去结构元对原图像的开操作。
底帽变换

$B_{hat}(f)=(f{\bullet}b)-f$

顶帽变换为结构元对原图像进行闭操作减去原图像

顶帽变换和底帽变换的作用：

校正不均匀光照的影响

原因是在三维图像中，顶帽变换结构元在灰度级下方移动获得开操作图像，之后用原图减去开操作图像，背景被去除

底帽变换结构元在灰度级上方移动获得闭操作图像，之后用闭操作图像减去原图，背景被去除
灰度级形态学重建

测地膨胀

$D_g^{(1)}(f)=(f{\oplus}b){\land}g$

和二值图像操作相似。 $\land$ 为最小算子，即取模板 $g$ 与膨胀后图像的最小值

测地腐蚀

$E_g^{(1)}(f)=(f{\ominus}b){\vee}g$

和二值图像操作相似。 $\vee$ 为最大算子，即取模板 $g$ 与膨胀后图像的最大值

膨胀形态学重建和腐蚀形态学重建使用灰度级测地膨胀和测地腐蚀对图像进行二值图像重建的类似操作

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