关于三角形的内角及边长的常识

初中已经学过的知识，在高中不断用到，所以称之为“常识”。然而，是基本的往往也是最重要的。离开这些常识，好多问题解决不了。

三角形的三边长必为正数。

三角形的两边之和大于第三边。

三角形的三个内角之和等于平角。也就是：

这是平面几何中一个基本而重要的结论，一般称为“三角形的内角和定理”。由该定理可得出结论：

三角形中，大角对大边；小角对小边。

【动手找一找】
以上几点都是属于基础中的基础。如果直接考到，相信多数人都能正确回答。但是，在综合性的大题中，却可能出现“要用到时却想不起来”的情况。例如，“大边对大角”这一事实，在初中就已经学过。在近年的一个高考大题中，就要用到这一性质。你能指出具体是哪个大题吗？

用三角函数值确定内角大小的注意事项

在近年的三角函数大题中，“根据指定条件求某指定内角”这样的问题多次出现。解答这一问题需要注意以下几点：
1）三角形内角的取值范围是 . 因此，余弦的值域为 ； 而正弦的值域为 ；正切的值域为 。 所以，如有可能，应优先考虑计算出余弦值而不是正弦值。
2）一个三角形中最多有一个钝角。假如根据题设条件推导出某个角的正弦值，应根据其它条件作进一步判断：这是一个锐角还是钝角？
3）根据题设条件，得出的可能并不是内角的三角函数，而是内角与另外一个角的三角函数之值。这种情况下一定要小心谨慎，最好是步步为营：先定出两角和（或差）的取值范围，再根据其函数值定和（或差）的值，最后确定所求角的大小。总之，平时训练中就养成好习惯，避免因为一些细节问题丢分。

【动手找一找】
以上三点，在近年的哪些考题中有体现？在自己的解答过程中，有没有犯过错误？应该如何改进？

正弦定理

正弦定理有好几几种表述形式

以上是正弦定理的“标准表达”形式。

正弦定理的用法总结

正弦定理的主要用法有以下几种：

• 求边长
• 求角
• 边化角
• 角化边

其中，“求边长”和“求角”主要出现在小题中。在近年的高考大题中，主要是后两种形式，即“边化角”和“角化边”。

例如，2011年理数全国卷题17：

【动手找一找】
请在最近练过的题目中找一找：边化角和角化边的例子还有哪些？

三角形的面积公式

应用正弦定理，可得如下推论：

在最近十年的高考中，上面这个公式用得比较多，需要留意。

余弦定理

余弦定理通常有以下两种表述形式：

余弦定理的用法总结

余弦定理的主要用法有以下几种：

已知三边长求角（即SSS情形）
求边长（已知条件为SAS，求已知角所对边）

在面积与周长（边长）间建立关联

应用余弦定理求角或求边长，是余弦定理最基本的用途。近年高考强调综合性，不会直接提供SSS或SAS这样“现成”的条件；一般来说，需要对已知条件作一些处理，才能得到SSS或是SAS。还有一种用法是：利用余弦定理建立方程。
近年高考中出现一类热点题型，是利用余弦定理，将三角形的面积和周长（边长）关联起来。后面将专门进行讨论。

【动手找一找】
在近年的高考题中，哪几个大题用到了余弦定理？自己完成的情况如何？

面积与周长的关系

这类问题在近年的高考中多次出现。它综合考察了以下几方面的知识：余弦定理、面积公式、二次函数。本节重点讨论这类问题。
如前所述，三角形面积可以用两条边长及其夹角的正弦表达：

假如角C大小固定，则三角形面积与两条边长之积成正比。又根据余弦定理可知：

由上或可提出如下结论：

以上公式建立了 三者之间的关联。在角 和 边长已知的前提下，实际上也就建立了面积和另个量之间的关联。
在具体的考题中有可能这样提问：
1）已知条件包括：角 、 边长；求三角形的面积最大值；
2）已知条件包括：角 、 边长、三角形的面积；求周长（或：、的边长）；

【动手找一找】
在近年的高考大题中，哪些题涉及面积与边长的关系？上述公式中有哪些可以发挥作用？

两大定理以外的常用公式
正弦定理和余弦定理属于“必考知识点”，务必要牢记。除了这两大定理，还有一些“常用公式”，如能掌握，对于提高解题能力和答题速度，大有好处。

与三角形的高相关的公式

以上公式中，、、 分别表示 、、 三条边上的高。

与射影相关的公式

该公式的内涵可以这样理解：、 两边在 边上的射影之和等于 边长。其中， 代表任意边，对其它两边可以依此类推，写出相应的公式。

有相当一部分考题，应用以上公式，可以提高解答速度。例如：

2014年广东卷第12题

的内角的对边分别为 ，已知 ，求 。

这个题可以依据余弦定理解答，但计算量稍大。如果应用上述的“射影”公式，则可口算作答，节省很多时间。

【动手试一试】
除了上面的例子，还有一些考题可以应用该公式，不妨自己试一下：

2012年理数全国卷二第17题

2013年理数全国卷二第17题

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回答是肯定的。请同学们自行补充。