转动定律by武斌

知识点

类比法理解牛顿第二定律和转动定律
单个刚体的转动 $\color{red}{可以用角加速度来判断稳定性}$
转动、平动组合体：
- 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
- 对平动的物件(记为 $i$ )按照牛顿第二定律 $F_{i}=m_{i}a_{i}$ 列方程；
- 对转动的物件(记为 $j$ )按照转动定律 $M_{j}=I_{j}\alpha_{j}$ 列方程；
- 根据约束条件列方程。

表达题

转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有 $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ ， $a=\frac{F}{m}$ ，那么转动定律的公式是

解答： $\frac{dl}{dt}=j\frac{d\omega}{dt}=M$ 说明刚体定轴转动时所获得的角加速度与它所受到的合外力矩M成正比，与它的转动惯量成反比。

均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？

解答：设细棒长为 $L$ ,质量为 $m$ ,转动的角度为 $\theta$
细棒的线密度 $\lambda=\frac{m}{L}$ , $dm=\lambda dr=\frac{m}{L}dr$
$J=\int_0^L r^2dm=\int_0^L\frac{m}{L}r^2dr=\frac{1}{3}mL^2$
$M=Fr\sin\theta$ , $F=\frac{1}{2}mg$ , $r=L$
$\alpha=\frac{M}{J}=\frac{3g\sin\theta}{2L}$

重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为 $\frac{1}{2}MR^{2}$ 。今两端的拉力分别为 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ ，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答： $F_合=T_2-T_1$ , $M=Fr\sin\theta=FR$ , $J=\frac{1}{2}MR^{2}$
$\alpha=\frac{M}{J}=\frac{2(T_2-T_1)}{MR}$

一质量为 $m$ 的小球以 $v_{0}$ 的速率沿 $x$ 轴前进，在恒定的摩擦力的作用下， $\Delta t$ 时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为()。一飞轮以 $\omega_{0}$ 的转速旋转，转动惯量为 $I$ ，现加一恒定的制动力矩使飞轮在 $\Delta t$ 时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为

解答： $f\Delta t=mv_0$ ,则 $f=\frac{mv_0}{\Delta t}$
$L=I\omega$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101005.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

(1) $FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

(2) $FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

对 $m$ 列方程，有如下列法

(3) $T-mg=m\cdot a$

(4) $mg-T=m\cdot a$

对约束方程，有如下列法

(5) $a=R\alpha$

(6) $a=R\alpha^{2}$

以上正确的是

解答：（1）（3）（5）

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101006.png

则对 $M$ 列方程：

$T_1R-T_2R=\frac{1}{2}mR^2\alpha$

对 $m_{1}?$ 列方程：

$m_1g-T_1=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程：

$T_2-m_2g=m_2a$

约束方程：

$a=R\alpha$

解答： $\alpha=\frac{2(m_1g-m_2g)}{mR+2m_1R+2m_2R}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101007.png

则对 $M_{1}$ 列方程，有如下可能的方程

$T_1R_1-T_2R_1=\frac{1}{2}M_1R_1^2\alpha$

对 $M_{2}?$ 列方程，有如下可能的方程

$T_2R_2-T_3R_2=\frac{1}{2}M_2R_2^2\alpha$

对 $m_{3}$ 列方程，有如下列法

$m_3g-T_1=m_3a_3$

对 $m_{4}$ 列方程，有如下列法

$T_3-m_4g=m_4a_4$

对约束方程，有如下列法

$a_3=a_4$ , $a_3=R_1\alpha$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101008.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

$T_2R-T_1R=J\alpha$

对 $m_{1}$ 列方程，有如下列法

$T_1-\mu m_1g=m_1a$

对 $m_{2}$ 列方程，有如下列法

$m_2g-T_2=m_2a$

对约束方程，有如下列法

$a=R\alpha$

转动定律by武斌

知识点

表达题

推荐阅读更多精彩内容