转动定律(by小毅)

转动定律

知识点
  • 类比法理解牛顿第二定律和转动定律
  • 单个刚体的转动
  • 转动、平动组合体：
    • 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
    • 对平动的物件(记为i)按照牛顿第二定律F_{i}=m_{i}a_{i}列方程；
    • 对转动的物件(记为j)按照转动定律M_{j}=I_{j}\alpha_{j}列方程；
    • 根据约束条件列方程。
  • \frac{d\vec {L}}{dt}=\frac{\vec{r} \times \vec{p}}{dt}=\frac{\vec{r} \times \vec{v}}{dt} m=m\vec{a}\vec{r}=\vec{F}\times \vec{r}=\vec{M}
表达题
  • 转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}，a=\frac{F}{m}，那么转动定律的公式是

解答：\frac{d\vec {L}}{dt}=\frac{\vec{r} \times \vec{p}}{dt}=\frac{\vec{r} \times \vec{v}}{dt} m=m\vec{a}\vec{r}=\vec{F}\times \vec{r}=\vec{M}

  • 均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？

解答：
脑补，细棒与竖直的夹角为\theta
\alpha=\frac{M }{J}=\frac{mgl\sin \theta}{2J}

  • 重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为\frac{1}{2}MR^{2}。今两端的拉力分别为T_{1}和T_{2}，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答：
\alpha=\frac{M }{J}=\frac{|T_1-T_2|R}{\frac{1}{2}MR^2}

  • 一质量为m的小球以v_{0}的速率沿x轴前进，在恒定的摩擦力的作用下，\Delta t时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为()。一飞轮以\omega_{0}的转速旋转，转动惯量为I，现加一恒定的制动力矩使飞轮在\Delta t时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为

解答：
由动量定理f=\frac{mv_0}{\Delta t}
M=\alpha J=I\frac{\omega _0}{\Delta t}

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101005.png

    则对M列方程，有如下可能的方程

    (1) FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha

    (2) FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha

    对m列方程，有如下列法

    (3) T-mg=m\cdot a

    (4) mg-T=m\cdot a

    对约束方程，有如下列法

    (5) a=R\alpha

    (6) a=R\alpha^{2}

    以上正确的是

解答：（1）（3）（5）

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101006.png

    \color{red}{逆时针为正}
    则对M列方程：

    T_1-T_2=\frac{1}{2}MR^2_1\alpha_1

    对m_{1}​列方程：

    m_1g-T_1=m_1a

    对m_{2}列方程：

    T_2-m-m_2g=m_2a

    约束方程：

    a=\alpha R

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101007.png

    则对M_{1}列方程，有如下可能的方程

    T_1-T_2=\frac{1}{2}MR^2_1\alpha_1

    对M_{2}​列方程，有如下可能的方程

    T_2-T_3=\frac{1}{2}MR^2_2\alpha_2

    对m_{3}列方程，有如下列法

    m_3-T_1=m_3a_3

    对m_{4}列方程，有如下列法

    T_3-m_4=m_4a_4

    对约束方程，有如下列法

    a_3=\alpha_1 R_1=a_4=\alpha_2 R_2

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。


    Fig101008.png

则对M列方程，有如下可能的方程

T_2-T_1=\frac{1}{2}MR^2\alpha

对m_{1}列方程，有如下列法

T_1- \mu m_1g=m_1a

对m_{2}列方程，有如下列法

m_2-T_2=m_2a

对约束方程，有如下列法

a=\alpha R

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