倍数观念——几何角度：从平移叠加到拉伸

乘法运算的本质含义归根结底就是对倍数关系的理解，对倍数关系的理解离不开三种语言的相互转换。而不同年龄阶段儿童对倍数关系的理解也是不一样的，所以对于老生这部分的教学也是很有必要的。从动作操作——模型建构；从矩阵图——面积模型，线段图，数轴……课堂对话的过程中，发现一些所谓的优秀学生，也不能结合实际情景或图形语言分析清楚“每份的个数、份数”，可见很多孩子是日用而不知，对于他们而言乘法完全是混沌的状态，仿佛习惯了看到了几个几就用乘法，但从来没有去思考如果画线段图谁是每份的个数，谁是份数。这为之后用乘法的本质含义去分析问题埋下隐患。澄清乘法本身是这个单元所要解决的第一个认知冲突。

前面的线段图的渗透，是为了后面的实际应用问题做准备，这里不断地追问“每份的个数、份数”也是为后面的实际应用问题做准备。四年级实际应用题型已经明显比三年级时要复杂得多，儿童得分析能力要想提高，跟本上要先理解运算的本质含义，能够用乘法模型去分析问题，已知什么，求什么，什么信息变成了隐藏条件。三种语言的互译在三年级是为了儿童理解乘法的倍数关系，而到了四年级，更需要儿童在基本模型的基础上有所创新。这可能就是对很多孩子讲不会的题，多读题，多画图不起作用的原因。因为对于儿童而言每道题的文字语言和图形语言画出来都不一样，所以终于分析清楚了这个数学故事在讲什么，下一个又晕了。说明孩子的理解是浮于表面的，没有理解运算背后的本质含义，思维不够深刻。例如在面都这种文字特别多的题目时，很多孩子就会晕掉，分析这么一大段文字对于四年级的孩子确实有难度，但如果儿童在做这道题的时候脑海种立马浮现一个路程模型的关系式或线段图，这个时候就会主动在文字信息中去分析已知什么，求什么，是哪种知二求一问题，这样的读题才是有价值，也才是主动的分析读题。就像我们大人，如果要在一段文字中要去寻找有用的信息时，大脑一定是有备而来，并非毫无目的的文字拼接。我之前会强调儿童在读数学文字题的时候要把自己放到那个故事情景中去，充分唤起自己的已有生活经验，这其实是不对的，这样孩子的思维仍然是在生活情景中打转，数学更需要儿童具有用已有的数学观念（数学模型）去分析问题，并非理解故事。

对倍数关系的拆分是为了高年级及这个单元利用乘法的分配率解决问题做准备，也在帮助儿童倍数观念变得更灵活。

这个单元会遇到所谓的积的变化规律问题，可以用面积模型帮助儿童理解，面积模型是较为抽象的几何模型，最终我们可以再次回到倍数关系上，想象成橡皮泥的拉伸变换，课堂会更有意思，帮助儿童从平移叠加（加法）的倍数关系过度到拉伸变换（乘法）这是更高级的倍数观念，倍数观念本身更像是一种拉伸变换。拉就是倍数增加，减就是缩小为原来的几分之几。

位值制观念

这个单元会遇到大数的计算，对于整十整百数，儿童都会准确计算，但为什么要在积德末尾增添若干个0，大部分孩子并不清楚。课堂上需要带着儿童用计数单位去分析问题，让孩子深刻感受到800×7之所以可以看成8×7是因为将800，看成了8个百，800×7=8个百×7=56个百。结合图形语言去感受，线段图中每份的个数从800个一，变成了8个百，计数起来会更方便。也就是说在分析一个数字的时候，我们要用更适合的计数单位去表示。孩子们会出现计数不灵活的情况，这其实还表现在他没有理解乘法的本质含义上。这是我们系统内孩子的错误，所以对位值制思想的理解最终还是要落到对乘法的本质含义理解上。这个单元的学习一定要一直落到乘法的本质含义上，用线段图或矩阵图，面积模型帮助儿童理解，不能仅仅停留在表面的文字语言上。

这个单元的重点，也是传统学校的重点就是对竖式的理解，如果没有对乘法本质含义及位值制观念的理解，孩子也能正确处理竖式，因为竖式的简洁性是很容易上手进行机械操练的。但如果将竖式的学习落在对位值制及乘法本质含义理解上，对于新生和老师都是一次很好的让思维变得深刻的机会，只有想得足够深了，儿童的思维才能变得准确和灵活。所以对核心观念的深刻领会是非常非常必要的一间事情。但核心观念的建构，并非一节课两节课就可以落实的，做练习的过程也是儿童再次深入领会核心观念的过程，本单元的任何练习最终落在核心观念上，是的，倍数关系，倍数关系，倍数关系。

估算观念

关于估算观念，并非一节课的内容，而是要贯穿在整个教学过程中的，估算发展水平，代表了儿童的数感水平以及对运算本质的理解水平。很多问题多可以用估算思想解决。