箱拓扑与积拓扑

在之前的学习中，我们在 $X\times Y$ 上定义了拓扑，并且把该定义拓展为在任意多个可列的拓扑空间笛卡尔积上的拓扑。考虑笛卡尔积：
$X_1\times X_2 \times \cdots$ 其中每个 $X_i$ 都是一个拓扑空间。我们有两种方法生成拓扑：

将形如 $U_1\times U_2\times \cdots$ 的所有集合作为基，其中 $U_i$ 是 $X_i$ 中的开集。我们把通过这种方式生成的拓扑称为箱拓扑。
将形如 $\pi^{-1}_i(U_i)$ 的所有集合作为子基，其中 $\pi_i$ 是投影函数， $U_i$ 是 $X_i$ 中的开集。我们把通过这种方式生成的拓扑称为积拓扑。

这两种拓扑有什么不同呢？考虑积拓扑的一个基元素 $B$ ，它是由有限多个子基元素 $\pi^{-1}_i(U_i)$ 的交组成，不妨记这些指标为 $i_1,\cdots,i_k$ 。那么一个点 $\mathbf{x}\in B$ 当且仅当 $\pi_i(\mathbf{x})\in U_i, \forall~i=i_1,\cdots,i_k$ 。换言之，对于 $\mathbf{x}$ 的其他维度则不做要求。

这两种拓扑在有限维的笛卡尔积上是等价的，但是对于无穷维的笛卡尔积则不同。我们更偏好用积拓扑而不是箱拓扑，这在接下来将进行说明。我们先定义一个更广泛的笛卡尔积概念，它将指标集从正整数拓展为任意可列集。

定义（元组）：令 $J$ 为一个指标集，给定一个集合 $X$ ，我们定义 $J$ -元组为一个函数 $\mathbf{x}:J\to X$ 。若 $\alpha\in J$ ，我们通常把 $\mathbf{x}$ 在 $\alpha$ 处的取值记为 $x_\alpha$ ，并称为在 $\alpha$ 处的坐标。我们把 $\mathbf{x}$ 记为 $(x_\alpha)_{\alpha\in J}$ 。我们把在 $X$ 上的所有 $J$ -元组记为 $X^J$ 。

定义（笛卡尔积）：令 $\{A_\alpha\}_{\alpha \in J}$ 是一个集合族， $X=\bigcup_{\alpha\in J} A_{\alpha}$ ，那么该集合族的笛卡尔积，记为
$\prod_{\alpha\in J}A_\alpha$ 为所有满足 $x_\alpha \in A_\alpha,\forall~\alpha \in J$ 的 $J$ -元组 $(x_\alpha)_{\alpha \in J}$ 构成的集合。

显然，如果该集合族的所有集合 $A_\alpha$ 都等于一个集合 $X$ ，那么 $\prod_{\alpha \in J}A_{\alpha} = X^J$ 。

定义（箱拓扑）：令 $\{X_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 为一个拓扑空间族，在其乘积空间 $\prod_{\alpha \in J}X_{\alpha}$ 上可以将如下形式的集合作为基元素形成拓扑：
$\prod_{\alpha \in J}U_{\alpha}$ 其中 $U_\alpha$ 是 $X_\alpha$ 中的开集。我们把通过这个基生成的拓扑称为箱拓扑。

定义（积拓扑）：令 $\{X_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 为一个拓扑空间族，定义 $\mathcal{S}_\beta$ 为：
$\mathcal{S}_\beta = \{ \pi^{-1}_\beta(U_\beta)~|~U_{\beta}为X_\beta中的开集 \}$ 并且定义 $\mathcal{S}=\bigcup_{\beta \in J}\mathcal{S}_\beta$ ，我们把通过将 $\mathcal{S}$ 作为子基生成的拓扑称为积拓扑。

记通过子基 $\mathcal{S}$ 生成的基为 $\mathcal{B}$ ，我们考虑 $\mathcal{B}$ 中的元素与箱拓扑的基元素有何不同。 $\mathcal{B}$ 中的元素为有限多个 $\mathcal{S}$ 中的元素的交，如果我们取的这些元素都是来自于同一个指标下的集合 $\mathcal{S}_\beta$ ，那么生成的元素也属于 $\mathcal{S}_\beta$ ，因此我们只考虑分别从不同指标集下取出子基元素进行交集。设 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 为 $J$ 中 $n$ 个不同的指标， $U_{\beta_i}$ 为 $X_{\beta_i}$ 的开集，那么 $\mathcal{B}$ 中的一个元素可以写成：
$B = \pi^{-1}_{\beta_1}(U_{\beta_1}) \cap \pi^{-1}_{\beta_2}(U_{\beta_2}) \cap \cdots \cap \pi^{-1}_{\beta_n}(U_{\beta_n})$ 那么，一个点 $\mathbf{x}=(x_{\alpha})\in B$ 当且仅当 $x_{\beta_1}\in U_{\beta_1}, \cdots, x_{\beta_n}\in U_{\beta_n}$ 。对于一个不属于 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 的指标 $\alpha$ ， $x_\alpha$ 不做任何要求。因此，我们有如下定理：

定理（箱拓扑与积拓扑的对比）：给定乘积空间 $\prod X_{\alpha}$ ，我们有：

箱拓扑的基元素为所有形如 $\prod U_{\alpha}$ 的集合，其中对于所有的 $\alpha\in J$ ， $U_\alpha$ 是 $X_\alpha$ 的开集。

积拓扑的基元素为所有形如 $\prod \mathcal{U}_{\alpha}$ 的集合，其中对于所有的 $\alpha\in J$ ， $\mathcal{U}_\alpha$ 是 $X_\alpha$ 的开集；且除有限多个 $\alpha$ 外， $\mathcal{U}_\alpha=X_\alpha$ 。

从以上定理可以看出两点。首先，对于有限的笛卡尔积，箱拓扑与积拓扑相等。其次，箱拓扑在一般情况下比积拓扑更加精细。我们之所以更偏好积拓扑而不是箱拓扑，是因为在有限笛卡尔积下的许多重要的定理，在使用积拓扑的情况下可以推广到任意乘积空间，但是对于箱拓扑则不一定；在接下来的学习中我们会更加深入地体会到这一点。因此，对于乘积空间而言，我们默认定义的拓扑为积拓扑而不是箱拓扑。

之前的学习中证明的在 $X\times Y$ 下成立的一些定理，无论使用箱拓扑还是积拓扑，都可以推广到任意维的乘积空间：

定理：令 $\{X_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 为一个拓扑空间族， $\mathcal{B}_\alpha$ 是 $X_\alpha$ 上拓扑的基，那么：

$\prod B_{\alpha}$ 为 $\prod X_{\alpha}$ 的箱拓扑，其中 $B_\alpha \in \mathcal{B}_\alpha,\forall~\alpha$

$\prod B_{\alpha}$ 为 $\prod X_{\alpha}$ 的积拓扑，其中 $B_\alpha \in \mathcal{B}_\alpha$ 对于有限多个 $\alpha$ ，且 $B_\alpha=X_\alpha$ 对于剩下的 $\alpha$

定理：对于每个 $\alpha$ ，令 $A_\alpha$ 是 $X_\alpha$ 的一个子空间，那么 $\prod A_{\alpha}$ 为 $\prod X_{\alpha}$ 的一个子空间，如果拓扑均为箱拓扑或者均为积拓扑。

定理：如果每个 $X_\alpha$ 都是一个豪斯多夫空间，那么 $\prod X_{\alpha}$ 也是一个豪斯多夫空间，无论拓扑为箱拓扑或者积拓扑。

定理：对于每个 $\alpha$ ，令 $A_\alpha\subset X_\alpha$ ，那么无论在箱拓扑还是积拓扑下：
$\prod \overline{A_\alpha} = \overline{\prod A_\alpha}$

下面的定理只对积拓扑成立，而不对箱拓扑成立：

定理：令 $f_\alpha:A\to X_\alpha$ ，且 $f:A\to \prod X_\alpha$ 由下式定义：
$f(a) = (f_\alpha (a))_{\alpha \in J}$ 如果 $\prod X_\alpha$ 上定义的是积拓扑，那么 $f$ 连续当且仅当每个 $f_\alpha$ 连续。

为什么该定理对于箱拓扑失效呢？我们可以看下面的例子。考虑 $\mathbb{R}^\omega$ ，即可数无穷多个 $\mathbb{R}$ 的笛卡尔积，则我们有：
$\mathbb{R}^\omega = \prod_{n\in \mathbb{Z}_+} X_n,~~X_n = \mathbb{R}$ 定义函数 $f(t) = (t,t,t,\cdots)$ ，那么第 $n$ 个坐标函数为 $f_n(t)=t$ 。显然，每一个坐标函数都是连续的，因此在积拓扑下 $f$ 也是连续的。但是对于箱拓扑而言，如果考虑基元素 $B=(-1,1)\times(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\times\cdots$ ，那么 $f^{-1}(B)$ 在 $\mathbb{R}$ 中不是开集。如果 $f^{-1}(B)$ 在 $\mathbb{R}$ 中是开集，那么对于某个 $\delta>0$ ，有 $0\in(-\delta,\delta)\subset f^{-1}(B)$ 因此有 $f((-\delta,\delta))\subset B$ 。因此，将 $\pi_n$ 运用到等式两边，我们有： $f_n((-\delta,\delta)) = (-\delta,\delta) \subset (-\frac{1}{n},\frac{1}{n}),\forall~n\in \mathbb{Z}_+$ 显然矛盾，因为 $n$ 可以任意大。因此该定理在箱拓扑中不成立。