机器学习（二）逻辑回归

在线性回归算法中， $y = \theta^{T}x$ , $y$ 的值域是（- $\infty$ ,+ $\infty$ ）,有没有一种办法，修改一下这个算法，让其能够实现分类的预测问题呢？

Sigmoid函数，将 $y$ 的值域由（- $\infty$ ,+ $\infty$ ）变到（0,1）
决策边界。假设决策边界的值为0.5，当Sigmoid（ $\theta^{T}x$ ）>0.5,则预测值输出1；当Sigmoid（ $\theta^{T}x$ ）<0.5,则预测值输出0。（这样变换之后即把一个回归问题转换成了一个分类问题）
与求线性回归损失函数时的方法一样，先引入似然函数，然后取对数，得出逻辑回归的损失函数。
使用梯度下降求 $\theta$ 。

2.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数即可以把范围在（-,+）的值变换到（0,1）。

2.2 逻辑回归的假设函数：

P() = 0.8,则表示对于这组x值，预测值y等于1的概率为0.8。

取1和取0的概率函数：

合并：

2.3 损失函数

求损失函数的过程是对上式，先构建似然函数，再取对数。
似然函数为：

对数似然函数为：

2.4 梯度下降

为了便于使用梯度下降法，在函数前乘以 $-\frac{1}{m}$ .
求解更新过程：

因此，的更新过程：

2.5 多元分类

逻辑回归模型除了可以用来解决二元分类问题，还可以用来解决多元分类问题。
针对多元分类问题， $y = \{0,1,2,...,n\}$ ,总共有 n + 1 个类别。其解决思路是，首先把问题转换成二元分类问题，即 y = 0 是一个类别，把 $y = \{1,2,...,n\}$ 作为另一个类别，然后计算这两个类别的概率；接着，把y = 1 作为一个类别，然后把 $y = \{0,2,...,n\}$ 作为另一个类别，再计算这两个类别的概率。由此推广开，总共需要 n +1 个预测函数。在这 n +1 个预测函数预测出来的概率中，取最大的那个，即为预测的类别。