算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
程序设计中数据结构和算法是最重要的，是编程的灵魂。
数据结构是算法实现的基础，算法总是要依赖于某种数据结构来实现。往往是在发展一种算法的时候，构建了适合于这种算法的数据结构。一种数据结构如果脱离了算法，也就没有存在的价值了。
算法的作用
解决任何一个实际问题，都不可避免地涉及到算法的问题，例如存钱问题，节假日值班人员的排班等，都需要通过一定的算法得到一个最优的方案。
示例：看商品猜价格
首先出示一件价格在999元内的商品，参与者要猜出这件商品的价格。在猜价格的过程中，主持人会根据参与者给出的价格，相应地给出“高了”或“低了”的提示。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(){
int ori_price,new_price=0, i=1;
printf("\nold price:");
scanf("%d", &ori_price);
system("cls");
printf("\nguess");
while(ori_price != new_price){
i++;
printf("\nnew price:");
scanf("%d", &new_price);
printf("\nresult:");
if(ori_price > new_price){
printf("too small\n");
}else if(ori_price < new_price){
printf("too big\n");
}else{
printf("success %d", i);
}
}
return 0;
}
运行并测试
$ gcc hello.c -o hello
$ hello
递推算法
算法思路：递推算法使用“步步为营”的方法，不断利用已有的信息推导出新的东西。
- 顺推法：从已知条件出发，逐步推算出要解决问题的方法。例如，斐波拉契数列可以通过顺推法推算出新的数据。
- 逆推法：从已知结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题开始的条件，即顺推法的逆过程。
数据结构与算法关系
例：累加程序
普通算法
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i, sum=0, n = 100;
for(i=1; i<=n; i++){
sum = sum + i;
}
printf("%d\n",sum);
return 0;
}
高斯：求等差数列的算法
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i, sum=0, n = 100;
sum = (1 + n) * (n / 2);
printf("%d\n", sum);
return 0;
}
算法的定义
算法（Algorithm）是描述解决问题的方法，具体来说，是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性
- 输入输出：算法具有零个或多个输入，算法至少有一个或多个输出。
- 有穷性：算法在执行优先的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一步骤在可接受的时间内完成。
- 确定性：算法的每一步骤都具有明确的含义，不会出现二义性。
- 可行性：算法的每一步都必须是可行的，即每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
- 正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
- 可读性：便于阅读、理解、交流
- 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
- 时间效率高和存储量低
算法效率的度量方法
- 事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行的时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
- 事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模，所谓问题的输入规模是指输入量的多少。
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i,j,x=0,sum=0, n = 100;//执行1次
for(i=1; i<=n; i++){
for(j=1; j<=n; j++){
x++;//执行n*n次
sum = sum + i;
}
}
printf("%d\n",sum);//执行1次
return 0;
}
最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。
在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量与输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。
函数的渐进增长
假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做2n+3次操作，可理解为先有一个n次的循环，执行完后在有一个n次循环，最后有3次赋值或运算，共2n+3次操作。算法B要做3n+1次操作。你觉得他们谁更快呢？
- 当n=1时，算法A效率不如算法B。
- 当n=2时，两者效率相同。
- 当n>2时，算法A开始优于算法B。
输入规模n在没有限制的情况下，只要超过一个数值N，这个函数就总是大于另一个函数，称函数是渐进增长的。
函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有n>N，f(n)总是比g(n)大。那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。
某个算法，随着n的怎大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。
算法时间复杂度
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于 问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
使用O()来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
推导大O阶方法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 若最高阶项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。
- 得到的结果就是大O阶
常数阶 O(1)
- 顺序结构的时间复杂度
- 对于分支结构而言，无论是真假、执行次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化。
线性阶 O(n)
- 循环结构：分析算法的复杂度，关键要分析循环结构的运行情况。
对数阶 O(logn)
int count = 1;
while(count < n){
//每次count乘以2之后，就距离n更近一些。
count = count * 2;
}
平方阶 O(n^2)
int i,j;
// 时间复杂度 O(n^2)
for(i=0; i<n; i++){
for(j=0; j<n; j++){
}
}
int i,j;
// 时间复杂度 O(m*n)
for(i=0; i<m; i++){
for(j=0; j<n; j++){
}
}
//执行次数为1
n++;
void function(int count){
int i;
for(i=count; i<n; i++){
}
}
//执行次数为n
function (n);
int i,j;
//执行次数为n^2
for(i=0; i<n; i++){
function(i);
}
//执行次数为n*(n+1)/2
for(i=0; i<n; i++){
for(j=i; j<n; j++){
}
}
常见时间复杂度
- 常数阶
O(1) - 线性阶
O(n) - 平方阶
O(n^2) - 对数阶
O(logn) - nlogn阶
O(nlogn) - 立方阶
O(n^3) - 阶数阶
O(2^n)
最坏情况和平均情况
查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字在最后一个位置，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况。
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，就是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提供的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是从概率的角度看，这个数字在每个位置的可能性是相同的。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种情况最坏情况下的时间复杂度，这种办法称为最坏时间复杂度。一般在没有特别说明的情况下，都是最坏时间复杂度。
算法空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记为：S(n) = O(f(n))。其中n为问题的模型，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
