例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A'处.当A'P与Rt△ABC的边平行时，线段AP的长为（ ）
【解法提示】当A'P与Rt△ABC的边平行时→分情况讨论
①当A'P∥AC时；②当A'P∥BC时
如何作图？
1.画出大致草图
2.观察草图，找出关键信息
①当A'P∥AC时，∠A'PC=∠ACP
折叠→∠ACP=∠A'CP，∠A=∠A'=60°→等边△A'CP→AP=AC=2
②当A'P∥BC时,∠A'PB=∠B=30°，∠A=∠A'=60°→直角△A'DP（含30°角的特殊直角三角形）
在直角△ADC中，根据∠A=60°，可以求出AD
折叠→AP=A'P，AD=AP+PD
【方法归纳】
题干中出现类似“点A'落在矩形ABCD的对角线(或边或对称轴)上”这样的表述时，未明确折叠后落点的具体位置，需分类讨论：
①点落在特殊四边形的对角线上，需分特殊四边形的两条对角线两种情况讨论；
②点落在边上时，需分点落在哪条边上进行讨论；
③点落在对称轴上，先确定所给图形有几条对称轴，需分点落在哪条对称轴上进行讨论.
【变式训练】
1. 已知，正方形的边长为16，P是边AD上的一个动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，延长PA'，CD于点E，当点E与CD的中点F的距离为2时，AP的长为（ ） .
【解法提示】当点E与CD的中点F的距离为2时→分情况讨论：
①当点E在点F上方时；②当点E在点F下方时
如何作图？
①当点E在点F上方时
先将点F向上平移2个单位长度
折叠→∠A=∠BA'P=90°，AP=A'P，
P、A'、E三点共线，→∠BA'E=90°→过点E作圆B的切线，交AD于点P，
在直角△PDE中，利用勾股定理求解
②当点E在点F下方时
先将点F向下平移2个单位长度
折叠→∠A=∠BA'P=90°，AP=A'P，
P、A'、E三点共线，→∠BA'E=90°→过点E作圆B的切线，交AD于点P，
在直角△PDE中，利用勾股定理求解
解题关键数据：CE＝A'E。可以利用HL求出
BA=BA'=BC，BE=BE
2. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，点P在边AD上，将△ABP沿着BP折叠，若点A的对应点A'恰落在矩形ABCD的对称轴上，则AP＝ （ ）cm.
【解题提示】若点A的对应点A'恰落在矩形ABCD的对称轴上→分情况讨论：
①落在AD的垂直平分线上；
考虑一线三垂直△A'FP∽△BGA'
②落在AB的垂直平分线上；
A'为FG中点
考虑一线三垂直△A'FP∽△BGA'
或者考虑折叠→∠A'BG=30°→∠PA'F=30°
一题多解，HQ垂直平分AB→A'A=A'B
A'B=AB→等边△A'AB
含30°的等腰△PAA（顶角为120°）'→三边关系
3. (2021河南15题)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，∠B＝30°，AC＝1，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图②；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图③.当点D'恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为（ ） .
【解题提示】当点D'恰好在原直角三角形纸片的边上时→分情况讨论：
①点D'落在AB上时
此时A'C⊥AB
∵∠CA'D＝∠A＝60°，
∴∠A'D'E＝30°，
A'E＝x，→AD＝A'D＝A'D'＝2A'E＝2x，DE＝D'E＝√3 A'E＝√3 x
在直角△AEC中，利用60°角，可以求出AE
AE=AD+DE=2x+√3 x
①点D'落在BC上时
∠ACD＝∠A'CD＝∠A'CD'＝1/3 ∠ACB＝30°，→∠ACA'＝60°，
∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，
∴△AA'C是等边三角形，∴AA'＝AC＝1，
∴A'D'＝AD＝A'D＝1/2 AA'＝1/2 ；
