物理学中常用积分的计算

巴塞尔问题 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=?$

这个问题最先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，最终由欧拉在1735年解决。这个问题曾难倒了众多数学家，因此，欧拉一解决这个问题便名声大噪。
后文将用到这一求和的结果。

欧拉最初的解法为：

利用正弦级数： $\sin{x}=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

得到：
$f(x)=\frac{\sin{x}}{x}=1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

$f(x)=0$ 的解集为： $x = \pm n\pi, x=0,1,2,3,\cdots$

于是，欧拉大胆地将 $\frac{\sin{x}}{x}$ 表示为下列连乘式：
$\begin{aligned} \frac{\sin{x}}{x}&=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})\cdots\\ &=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})(1-\frac{x^2}{16\pi^2})\cdots \end{aligned}$
根据根与系数的关系，对于二次多项式有
$-(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+\frac{1}{16\pi^2}+\cdots)=-\frac{1}{3!}$
两边同乘以 $\pi^2$ 即得：
$\begin{aligned} 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} \end{aligned}$

后来，欧拉将这一问题扩展为：
$1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots=?$
并给出了s为偶数时的解。

德拜热容公式中的积分 $\int_0^\infty{\frac{\xi^4e^\xi}{(e^\xi-1)^2}d\xi}$

$\begin{aligned} \int_0^\infty{\frac{\xi^4e^\xi}{(e^\xi-1)^2}d\xi}&=-\int_0^\infty{\xi^4d{(e^\xi-1)^{-1}}}\\ &=4\int_0^\infty{\frac{\xi^3}{e^\xi-1}}d\xi =4\int_0^\infty{\frac{\xi^3e^{-\xi}}{1-e^{-\xi}}}d\xi\\ &=4\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^\infty\xi^3e^{-k\xi}d\xi,\quad(利用\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots) \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \int_0^\infty\xi^3e^{-k\xi}d\xi&=\frac{1}{k^4}\int_0^\infty{(k\xi)}^3e^{-k\xi}d(k\xi)\\ &=\frac{1}{k^4}\int_0^\infty{y}^3e^{-y}dy\\ &=\frac{3!}{k^4} \end{aligned}$
利用 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}$ , 上述积分结果为：
$\begin{aligned} 4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{6}{k^4}=24\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{4\pi^4}{15} \end{aligned}$

费米统计积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\xi^2d\xi}{(e^\xi+1)(e^{-\xi}+1)}}$

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{x^2dx}{(e^x+1)(e^{-x}+1)}}&=2\int_{0}^{+\infty}{\frac{x^2e^{x}dx}{(e^x+1)^2}}\\ &=-2\int_{0}^{\infty}{x^2d(e^x+1)^{-1}}\\ &=4\int_{0}^{\infty}{\frac{x dx}{e^x+1}}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{x}{e^x+1}&=\frac{x e^{-x}}{1+e^{-x}}=xe^x(1-e^{-x}+e^{-2x}-\cdots)\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}xe^{-kx} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\frac{xdx}{e^x+1}&=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\int_{0}^{\infty}xe^{-kx}dx\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\int_{0}^{\infty}ye^{-y}dy\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\\ &= \frac{\pi^2}{12} \end{aligned}$

故
$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\xi^2d\xi}{(e^\xi+1)(e^{-\xi}+1)}}=4\int_{0}^{\infty}{\frac{x dx}{e^x+1}}=\frac{\pi^2}{3} \end{aligned}$

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