期权风险中性定价

要回答的问题

很多小伙伴在学金融工程时，必然会遇到这样一个问题是 为什么在期权定价中可以使用风险中性定价？

但追根究底地说，

风险中性不是假设，而是推论。
风险中性不是假设，而是推论。
风险中性不是假设，而是推论。

而这篇文章，就带着你将这个推论一步一步地推导出来。

何为期权风险中性定价法

所谓的期权风险中性定价法，即在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，推导得到期权的价值为 $V_t$ ，即

$V_t = E^Q[e^{-\int_t^T r_s \mathrm{d}x } X_T|\mathcal{F}_t]$

其中， $r_s$ 为 $s$ 时刻的无风险利率， $\mathcal{F}_t$ 为 $t$ 时刻的 $\sigma$ 代数， $X_T$ 则为期权在 $T$ 时刻到期时支付的现金流。(例如，对于常见的欧式看涨期权， $X_T = [S_T-K]^+$ )

特别的，在 $t=0$ 的情况下

$V_0 = E^Q[e^{-\int_0^T r_s \mathrm{d}x } X_T]$

细心的同学可以发现， $V_t$ 是定义在 $\mathcal{F}_t$ 上的变量，而 $V_0$ 则是一个常量。而这个常量的值，正是我们希望得到的期权在 $0$ 时刻的价值。

金融上的解释

所以我们的问题就进一步转化为了对上述公式的证明。

如果不用数学公式来回答的话，那么答案可以概述为：

使用风险中性测度可以明确找到一个自融资的、由股票与现金账户的两种资产组合而成的投资组合，该组合在期权到期时的现金流与期权相同

故而该组合与期权拥有相同的现金流，即二者具有相同的价值

数学上的推导

现在我们开始一步步展开，并配合数学公式来解释回答这个问题。

假设目前有两个资产，分别是股票 $S_t$ 和现金账户 $B_t$ ，

$\mathrm{d}S_t = \mu_t S_t \mathrm{d}t + \sigma_t S_t\mathrm{d}W_t$
$\mathrm{d}B_t = r_t B_t \mathrm{d}t$

其中 $W_t$ 是现实测度 $\mathbb{P}$ 下的标准布朗运动

如果变换测度到 $\mathbb{Q}$ 下，则上述公式转化为

$\mathrm{d}S_t = r_t S_t \mathrm{d}t + \sigma_t S_t\mathrm{d}\tilde{W}_t$
$\mathrm{d}B_t = r_t B_t \mathrm{d}t$

其中 $\tilde{W}_t$ 是风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下的标准布朗运动。

看到这里你可能会有疑惑，怎么突然就用到了测度转换了。别着急，这在文章后半部分“为什么要用风险中性”中就会给出解释。

何为风险中性测度

所谓的风险中性测度，只是众多可变换的测度中的一种，例如，我们亦可以将测度转化为远期测度(Forward measure)进行定价，当然这是后话。

而提到测度，就不得不提及计价单位(Numeraire)这个概念，引用吴立新教授《Interest Rate Modeling Theory and Practice》一书的原话来说，即

$\mathbb{Q}_A$ is the martingale measure associated with reference asset $A_t$ , meaning that, for any traded asset Vt , its price relative to that of asset $A_t$ , $\frac{V_t}{A_t}$ , is a $\mathbb{Q}_A$ -martingale

把它翻译到我们这个案例里：

无风险测度，是让所有的资产以无风险资产(现金账户)作为计价单位的价格运动变成鞅。此时的无风险资产我们称之为无风险测度下的Numeraire。

理解了何为风险中性测度后(what)，剩下的问题就是 why 和 how

why: 为什么要用这个测度
how: 如何进行这个测度的转换

为什么要用风险中性

直接的回答就是前文提及到的风险中性定价法在金融上的解释：

使用风险中性测度可以明确找到一个自融资的、由股票与现金账户的两种资产组合而成的投资组合

该组合需要具备有两个非常重要的性质

必须是自融资的
在期权到期时与其有完全相同的现金流

而利用风险中性测度，就能找到这样的一个资产组合。

假设我们已经利用了风险中性测度完成了对股票价格运动过程的转换，即

$\mathrm{d}S_t = r_t S_t \mathrm{d}t + \sigma_t S_t\mathrm{d}\tilde{W}_t$

那么股票以无风险资产(现金账户)作为计价单位的价格运动可以记为 $Z_t$

$Z_t = \frac{S_t}{B_t}$

根据伊藤公式可以展开为

$\mathrm{d}Z_t = \sigma_t S_t\mathrm{d}\tilde{W}_t$

因为 $\tilde{W}_t$ 是风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下的标准布朗运动，故而 $Z_t$ 在测度 $\mathbb{Q}$ 下是一个鞅，记为 $Q-MTG$ 。而 $Z_t$ 是 $Q-MTG$ 才能引出后文的Martingale Representation Theorem.

因为 $X_T$ 是定义在 $(\Omega,\mathcal{F}_T)$ 上的变量，同样的， $B_T$ 和 $B_T^{-1}X_T$ 也是。

故而，我们可以定义一个新的变量 $N_t$ ,

$N_t = E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_t]$

$N_t$ 可以视为 $B_T^{-1}X_T$ 投影到 $\mathcal{F}_t$ 空间上的变量，且很容易地可以看出 $N_t$ 也是一个 $Q-MTG$ ，证明如下：

$E^Q[N_t|\mathcal{F}_0] = E^Q[ E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_t]|\mathcal{F}_0] = E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_0] =N_0$

根据Martingale Representation Theorem，因为 $N_t$ 和 $Z_t$ 都是定义在同一测度空间上的变量，故而必然存在这么一个 $\phi_t$ ，使得

$\mathrm{d}N_t = \phi_t \mathrm{d}Z_t$

于是我们得以确定了这个 $\phi_t$ ，而这也是整个定理逻辑的核心。因为我们可以根据这个 $\phi_t$ 开始构建我们的投资组合：

$\phi_t$ 单位的股票
$\psi_t$ 单位的无风险资产

其中 $\psi_t = N_t - \phi_t Z_t$ ，故而这个组合的折现价值为

$\tilde{V}_t = \phi_t Z_t + \psi_t = N_t$

进一步观察可以发现

$V_t = \tilde{V}_t B_t = \phi_t S_t + \psi_t B_t$
$\mathrm{d}V_t = \mathrm{d}(\tilde{V}_t B_t) = ... = \phi_t \mathrm{d}S_t + \psi_t \mathrm{d}B_t$

由以上公式可以得到这个组合拥有我们要找的两个特质

该组合在T时刻的现金流的折现价值为 $\tilde{V}_T = N_T = E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_T] = B_T^{-1}X_T$
进一步地，组合在T时刻的现金流价值为 $V_T = \tilde{V}_T B_T = X_T$ 即组合T时刻的现金流和期权完全一致。
该组合是自融资的，因为组合的价值变化仅仅源自于资产价格的变量，并没有任何增资或撤资，即

$V_{t+\mathrm{d}t} = \phi_{t+\mathrm{d}t} S_{t+\mathrm{d}t} + \psi_{t+\mathrm{d}t} B_{t+\mathrm{d}t}$
$= V_t + \mathrm{d}V_t$
$= \phi_t S_t + \psi_t B_t + \phi_t \mathrm{d}S_t + \psi_t \mathrm{d}B_t$
$= \phi_t S_{t+\mathrm{d}t} + \psi_t B_{t+\mathrm{d}t}$

当一个资产组合具备这两个特质的时候，我们便可以推出，该资产组合和期权拥有一样的价值，否则就回存在套利机会。

这就引出了最重要的结论：

$期权价值_t = V_t = \tilde{V}_t B_t = N_t B_t = B_t E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_t]$

是的，重复一遍

$期权价值_t = V_t = B_t E^Q[ B_T^{-1}X_T|\mathcal{F}_t]$

将 $B$ 展开成指数形式，可以得到我们的最终结论

$V_t = E^Q[e^{-\int_t^T r_s \mathrm{d}x } X_T|\mathcal{F}_t]$

至此，推导结束，情理之中、意料之外地得到了风险中性定价公式。 :)

如何转换到风险中性测度

这部分知识在大部分随机过程的书本上都有提及，维基百科Girsanov theorem也有较为详细的说明，所以此处就不赘述了。

特别地，在学习测度转换的过程中，给我启发最大的是这样一个方程

$E^Q[X] = \int_{\Omega}X\mathrm{d}Q = \int_{\Omega}X \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} \mathrm{d}P = E^P[X \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}]$

启发在于，测度的转化，类似于将其每个事件元素的概率进行了一定的调整。

所以，如果说 $X \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}$ 是一个 $P-MTG$ ，那么 $X$ 就是 $Q-MTG$ 。

而找到了这个 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}$ ，就等于找到了测度转换的答案。

小结

至此，整个证明过程结束了。不知小伙伴有没有消化了呢，欢迎Email或留言交流。

Ps. 近期我会开始更新这个博客，求关注哦 :P

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