积分因子法
%5Ctext%7Bd%7Dx%2BQ(x%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dy%3D0%5Cquad(2.55))
若方程是恰当方程，即 
，则它的通积分为
%5Ctext%7Bd%7Dx%2B%5Cint_%7By_0%7D%5E%7By%7DQ(x_0%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dy%3DC)
对一般的方程（2.55），设法寻找一个可微的非零函数 )
，使得用它乘方程（2.55）后，所得方程
P(x%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dx%2B%5Cmu(x%2Cy)Q(x%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dy%3D0%5Cquad(2.56))
成为恰当方程，即
%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20(%5Cmu%20Q)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D)
这时，函数 叫做方程（2.55）的一个积分因子
定理 2.4
微分方程（2.55）有一个只依赖于 
得积分因子得充要条件是：表达式
%7D%5Cleft(%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20P(x%2Cy)%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20Q(x%2Cy)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright)%5C%3B(2.60))
只依赖于 ，而与 
无关；而且若把表达式（2.60）记为 )
，则 %3De%5E%7B%5Cint%20G(x)%5Ctext%7Bd%7Dx%7D)
是方程（2.55）的一个积分因子.
类似的有下面平行的结果：
定理 2.5
微分方程（2.55）有一个只依赖于 得积分因子得充要条件是：表达式
%7D%5Cleft(%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20Q(x%2Cy)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20P(x%2Cy)%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cright)%3DH(y)%5C%3B(2.60))
只依赖于 ，则 %3De%5E%7B%5Cint%20H(y)%5Ctext%7Bd%7Dy%7D)
是方程（2.55）的一个积分因子.
求解微分方程
%5Ctext%7Bd%7Dx%2B(2x%5E2y-x)%5Ctext%7Bd%7Dy%3D0%5Cquad(2.62))
可以用积分因子求解通积分
我们现在从另一种观点——分组求积分因子
将（2.62）左端分成两组
%2B(y%5Ctext%7Bd%7Dx-x%5Ctext%7Bd%7Dy)%3D0)
其中第二组 
显然有积分因子：%5E%7B-1%7D)
，如果同时照顾到第一组的全微分形式，则 
乃是两组公共的积分因子，从而是方程（2.62）的积分因子. 为了使这种分组求积分因子的方法一般化，我们需要下述定理.
定理 2.6
若 是方程（2.55）的一个积分因子，使得
%5Ctext%7Bd%7Dx%2B%5Cmu%20Q(x%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dy%3D%5Ctext%7Bd%7D%5CvarPhi(x%2Cy))
则 g(%5CvarPhi(x%2Cy)))
也是（2.55）的一个积分因子，其中 )
是任意可微的非零函数
假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即
%2B(P_2%5Ctext%7Bd%7Dx%2BQ_2%5Ctext%7Bd%7Dy)%3D0)
其中第一组和第二组各有积分因子 
和 
，使得
%3D%5Ctext%7Bd%7D%5CvarPhi_1%2C%5C%2C%5Cmu_2(P_2%5Ctext%7Bd%7Dx%2BQ_2%5Ctext%7Bd%7Dy)%3D%5Ctext%7Bd%7D%5CvarPhi_2)
由定理 2.6 可见，对任意可微函数 
和 
，函数 )
是第一组的积分因子，而函数 )
是第二组的积分因子. 因此，如果能适当选取 与 ，使得 %3D%5Cmu_2g_2(%5CvarPhi_2))
，则 )
就是方程（2.55）的一个积分因子.
推广
若 %5Ctext%7Bd%7Dx%2BQ(x%2Cy)%5Ctext%7Bd%7Dy%3D0)
是齐次方程，则函数
%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7BxP(x%2Cy)%2ByQ(x%2Cy)%7D)
是一个积分因子
