高次平面曲线

笛卡尔已研究一些高次方程所代表的曲线，进而演变为高次平面曲线理论，18世纪研究的曲线都是代数曲线，即方程f(x,y)=0代表的曲线，f是x和y的多项式，曲线的次数或阶数取项的最高次。

受笛卡尔按次数对曲线进行分类的影响，牛顿首先对高次平面曲线进行了广泛的研究，用适用各次曲线的方法系统地研究了各次曲线。La Hire和沃利斯使用过负x值和负y值，牛顿更进一步在坐标系四个象限作图。

牛顿证明怎样把一般的三次方程表示的曲线通过坐标轴变换化为以下四种形式之一：(1)；(2)；(3)；(4)；牛顿称第三类为发散曲线，它有五种情况，根据根的性质分为：全部是相异实根；两个根是复数；都是实根但有两个相等，重根大于单根；重根小于单根；三根相等。他断言，从一点出发对这五种曲线之一作射影，然后取射影交线就能分别得到每个三次曲线。

发散曲线

牛顿很多断言都未给出证明，斯特林证明了大多数断言，但未证明射影定理。克莱罗和François Nicole(1683-1758)证明了射影定理。牛顿识别了72种三次曲线，斯特林增加了4种，修道院院长Jean Paul de Gua de Malves（这个名字也忒长了，搜索时发现有人译成德卦德，呃但de明显是个介词啊）又加了两种。牛顿的工作激起了大家研究高次曲线的兴趣，18、19世纪的数学家按照各种原则对三次、四次曲线进行分类，方法不同分类的数量也不同。

从牛顿的发散曲线图形可见，高次方程与一次、二次曲线相比有许多独特性质，称为奇点（拐点、多重点）。拐点大家已经熟悉了，多重点是两条或多条可重合的切线，在这样的点上曲线有两个或多个分支相交，比如两条分支相交的多重点称为二重点，三条就是三重点。

双纽线和笛卡尔叶形线，原点都是二重点，这种二重点也称结点

两条切线重合时，这条直线看作二重切线，曲线两个分支交于尖点（有时尖点也包括在二重点中），de Gua试图证明曲线两个分支在y=0同侧时不会出现尖点，但欧拉给出了许多例子。尖点也称为平稳点或逆行点，因为沿曲线运动时在尖点处停顿。

半立方抛物线和同侧分支曲线，图中原点是尖点

两条切线是虚的时候，二重点称为共轭点，共轭点的坐标满足曲线方程，但与曲线其他部分断开。

二重切线方程为y^2=-x^2，原点为共轭点

原点为三重点，切线为y=0,y=±x√3

原点为四重点，切线为y=0,y=0,y=±x

三次曲线最多可存在一个二重点（可以是尖点），也可以没有二重点。莱布尼茨等人研究了许多曲线上奇异的点，得到了这种点的解析条件，比如拐点处y''=0，在二重点处y'不确定。

1731年克莱罗假设一条三次曲线不能有多于三个的实拐点，但至少有一个实拐点，de Gua证明如果一条曲线有三个实拐点，则通过两拐点的连线一定通过第三个拐点，但人们把这个定理归功于麦克劳林。de Gua给出了二重点的条件，即曲线方程是f(x,y)=0，二重点处fx和fy=0，同理k重点处所有直到k-1阶的导数都等于0。他证明奇点是尖点、普通点和拐点的混合点，还论述了曲线的中点，曲线延伸到无穷分支的形式，以及这种分支的性质。

1720年19岁的麦克劳林证明了n次不可约曲线的二重点个数最多为(n-1)(n-2)/2，还给出了各类更高重数多重点的个数上限，然后他引入代数曲线亏数的概念，即二重点最大可能的个数减去实际二重点的个数。亏数为0或具有最大可能二重点个数的曲线被称为有理曲线或单行曲线。几何上一条单行曲线可由一个动点的连续运动描出，如圆锥曲线等。

牛顿给出在一个多重点上确定曲线各分支的级数表示法，通常称为牛顿图或牛顿平行四边形，De Gua用一个代数三角形代替牛顿平行四边形，欧拉注意到他忽略了虚的分支。G.克莱姆（1704-1752）为了确定曲线每个分支的级数表达式（特别是延伸到无穷远的），解决了隐函数时y用x展开的问题，把y展开成x的升幂级数或降幂级数。和De Gua一样，他用三角形代替牛顿平行四边形并忽略了虚的分支。后来Victor Puiseux(1820-1833)根据曲线各分支的级数展开得出了皮瑟定理。

数学家也注意到曲线和直线的交点以及两条曲线的交点问题。斯特林断言任意两条平行线切割一条给定曲线，它们的交点个数相同，他证明了延伸到无穷远的曲线分支数是偶数。麦克劳林创立了高次平面曲线交的理论。他推广了特殊情形并得出结论：m次方程和n次方程交于mn个点。1748年欧拉和克莱姆想证明这个结果但都没搞成。1764年贝祖（1730-1783）给出了较好的证明，但不完全，直到1873年阿尔方（1844-1889）才解决了计算相重数的问题。

麦克劳林之前说一条n次曲线由n(n+3)/2个点决定，两条n次曲线交于n^2个点，克莱姆这有个悖论，假设n=3，曲线由9个点决定，两条曲线也交于9个点，但这9个点不能确定一条曲线，他接着解释（现在被看成是他的）确定n^2个交点的n^2个方程不是独立的，所有通过一条给定曲线上的八个固定点的曲线都一定会通过这条曲线上的第九个固定点，第九个点依赖于前八个点，不作数。1748年欧拉给出了相同解释。

Mathieu-Bernard Goudin(1734-1817)和Achille-Pierre Dionis du Sejour（1734-1794）1756年写了本书，认为一条n次曲线在给定方向不可能有多于n(n-1)条切线，其渐近线也不能多于n条，一条渐近线与曲线相交，交点不能多于n-2个。（这两人百度啥也搜不出，甚至担心确有其人吗……）

18世纪关于高次平面曲线的两本著作是欧拉的《引论》第二卷和克莱姆的《代数曲线论》，因为后者观点统一、论述详细还附有经典例题，有些不是克莱姆的成果也被归功于他了。