引言
研究物理问题推动了人们对曲线曲面的认识，因为物体运动路径都是曲线，而物体本身是曲面界住的三维体。18世纪坐标几何和微分几何（把微积分应用到几何问题）得到了显著的成果。
基本解析几何
18世纪广泛地探讨了二维解析几何，牛顿和伯努利引入了极坐标，1729年Jacob Hermann宣布极坐标普遍可用，并自由地应用极坐标研究曲线，给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。欧拉扩充了极坐标的使用范围，明确地使用三角函数记号，当时的极坐标系实际上就是现在使用的极坐标系。欧拉在《引论》中引入了曲线的参数表示，用第三个变量表示x,y，并系统地讨论了平面坐标几何。
虽然费马、笛卡尔、La Hire的工作已经涉及到三维坐标几何，但它真正发展是在18世纪。一、改善了La Hire关于三维坐标系的建议。1715年约翰伯努利在给莱布尼茨的信中引入了现在通用的三个坐标平面，Antoine Parent（1666-1716）、约翰伯努利、克莱罗、Jacob Hermann等人逐渐发现曲面能用三个坐标变量的一个方程表示，克莱罗给出了一些曲面的方程，并发现描述一条空间曲线需要两个曲面方程，他还发现这两个曲面方程通过某种组合（比如相加）可以得出经过这条曲线的另一个曲面的方程。此外，他说明怎样得出这些空间曲线投影的方程，即求垂直于投影平面的柱面的方程。
人们早已在几何上认识到二次曲面，如球面、柱面、抛物面等，1731年克莱罗给出了几个曲面方程，他说明x,y,z的齐次方程（各项的次数相同）表示顶点在原点的一个锥面，次年Jacob Hermann补充说，即方程x^2+y^2=f(z)是绕z轴的一个旋转曲面。
欧拉在《引论》中系统地研究了三维坐标几何，他介绍了之前做过的工作。然后研究了一般的三个变量的二次方程ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz=l，试图通过坐标变换把这个方程表示的二次曲面的主轴变成新的坐标轴，把xyz坐标系变为x'y'z'坐标系，方程用角Φ、ψ、θ表示。
欧拉通过变换把一般方程变为标准形，得到了六种曲面：锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面（欧拉本人发现的）和抛物柱面，他和笛卡尔一样主张按方程次数进行分类，因为次数是线性变换下的不变量。之后欧拉研究把x^2+y^2+z^2变到x'^2+y'^2+z'^2，给出了轴的旋转的对称形式的变换，即齐次线性正交变换。
蒙日写了很多关于三维解析几何的文章，他和学生Hachette(1769-1834)证明二次曲面每一个平面截口是一条二次曲线，还证明平行截面截得相似的二次曲线。作者证明单叶双曲面和双曲抛物面是直纹曲面，即它们可用一根直线按两种不同的运动方式得到，或者说由两组直线族构成。早在1669年Christopher Wren已说明一条直线绕另一条和它不在同一个平面上的直线旋转，可得单叶双曲面的图形。
欧拉、拉格朗日、蒙日将解析几何建立成一个独立且充满活力的数学分支。
