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费马——不是数学专业的业余爱好者

皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为"业余数学家之王"。

费马涉足领域非常之广，解析几何、微积分、概率论、数论等等……

他独立于笛卡尔之外，发现了解析几何理论。

笛卡儿是从一个用

轨迹来寻找抛物线、曲线等的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。

微积分方面，费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。

概率论方面，一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。

光学方面，费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。

对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值; 即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。

费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。

这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德·欧拉，竟用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。

这直接导致了拉格朗日的成就……

费马在数论上的贡献极其多，诸如：

(1)全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。

(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。

(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。

(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边;4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边;类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。

(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。

(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和;它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和;5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。

(7)发现了第二对亲和数:17296和18416。

……………………

可能单看成就感觉不到其伟大，但……

距离第一对亲和数（220和284）诞生2500多年以后，才由费马同志提出第二对亲和数！

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今天的主角之一——费马大定理

n>2时且n是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足的整数解。

这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰辛的!

很有趣味的是，费马在读希腊数学家丢番图的《算术》一书时，在 有方程x^2+y^2=z^2的那页页边上，写下了费马大定理，且写下了耐人寻味的一番话：我确信这是不可能的，基于此，我发现了一个美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

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不太出名的费马小定理

自从欧几里得证明了质数的无穷多后，关于质数的讨论从未停止，也永不会停止！

可是怎么找到下一个质数？

目前找到的最大的质数是： 2^74207281-1

我们无法写出所有的质数，那么有没有一种方法可以判断其是否是质数？或者通过观察已知的质数来确定下一个质数的位置？

费马提出了检验一个数是否是指数的方法：

检验数x是质数，则用2^x除以x后得到余数为2，则其是一个质数；否则反之。

比如一个数是17， 2^17=131072， 131072÷17=7710…… 2，

故17是质数。

一开始，数学家们认为这是一个正确的结论；

但是，实际上这一检验方法并不能得到所有的正确结论。

比如：341=11*31，不是质数，

而 2^341÷341的余数也是 2 ！

这个例子在1819年才被人们发现。

费马其实指出了，这个方法不仅局限于 2 的幂，而是可以扩展到 n 的幂，对于任何比x小的正整数n，求得n^x÷x的余数，如果对于所有的结果都是n，则其是一个质数，否则其是一个假质数！

比如，上面例子中的 341.

3^341÷341的余数不是3，而是168，所以其不是质数。

可是，我们不可能验证所有的可能性，这需要太多的计算了。

伟大的匈牙利质数奇才保罗埃尔德什评估出，要验证一个小于10^150的数字是否是质数，只要通过一个费马的检验程序，就能知道该数字为非质数的概率小于10^43分之一。

也就是说，检验一次验证就足以发现其是否为质数，当然，出错的几率还是存在的，但很小！

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