摘要：《从数学到哲学》是王浩的代表作，是其正面集中阐释自己哲学思想的作品。循着从柏拉图到哥德尔的“数学-哲学家”传统，王浩在书中首次对实质事实主义一般立场进行了长篇阐发；广泛、深入地讨论了数学哲学的诸议题；探索了心灵与机器、数学与计算机、知识与生活等话题；还重点考察了逻辑和数学领域的一些基本概念。
四、逻辑真
1.亚里士多德逻辑的预设
· 在亚里士多德的《工具论》中，《范畴篇》是关于词项的理论，《解释篇》是关于判断的理论，《前分析篇》关于正确推理（三段论）的理论。《后分析篇》处理需要真前提的科学推理（证明），并给出了一门科学的初始命题（公理）必须满足的条件和一个关于定义的理论。《论辩篇》讨论辩证推理，并从赢得论辩的实践兴趣引向对正确推理的理论兴趣。
（1）逻辑和本体论
· “绝对非复合的表达式表示实体、数量、性质、关系、位置、时间、状态、施动或受动”。这反映了一种包含三类存在的本体论：个体（第一实体），类（第二实体），属性（另外九个范畴）。从这样的观点看，逻辑常项不属于这些范畴中的任何一个。其部分解释是，表达式是诸如名词短语和动词短语之类的单元，因此介词可以忽略。
· “当一事物被用来谓述另一事物时，所有可用来谓述谓词的事物也可用来谓述主词”。“可谓述”关系更多地对应于类包含关系，而不是类成员关系。但更仔细地观察会揭示出一种贴近唯名主义本体论的混合物，这种本体论不承认与物理实在无直接接触的（不以个体为成员的）较高层次的类（或属性）。一个第一实体可以属于一个类（或落在一个对其真实的属性之下），但一个类（或属性）只能包含于另一个类（或属性）。
· 亚里士多德的观点不是彻底唯名主义的，因为当A和B对同一组个体为真时，它们并没有被视为等同的。根据唯名论者（在这里所设想的意义上）的看法，一个共相的真实内容由其所涵盖的个体穷尽。
· 在处理三段论时，将单称词项排除在外会让理论变得更整齐，因为那样一来，每个词项都可以被不加限制地用作主词和谓词。亚里士多德所要求的仅仅是，在每个三段论中，至少有一个词项可以时而为主词，时而为谓词。
· 谓述过程还有一个上限。对于这些终极谓词，不可能用另一个谓词来谓述它们，但它们可被用来谓述其他事物。个体不能谓述其他事物，尽管其他事物可以谓述个体。在这两个极限之间的东西，则可以以两种方式被使用：它们既可以用来述说他物，也可以被他物述说。
（2）命题和主谓形式
· 逻辑学研究推理，而推理所指向的事情之一，是把握命题之间的必然联系。“推理是一种论证，在此过程中，某些东西被规定下来，另一些东西则从它们必然地得出。因为论证始于‘命题’，而推理的主题则是‘问题’，每个命题和每个问题都指示性质或定义或属或偶性。”
· 命题被想当然地假定为具有主谓形式。亚里士多德认为有必要论证一个更强的论点：所有命题都是由主词后面跟着上述四类谓词中的一种构成。从语法的角度看，这对应于把每个句子分析为一个名词短语和一个动词短语。
· 对亚里士多德来说，一个简单命题就是一个主谓命题，它被肯定或否定（质），是全称的或特称的（量）。“简单命题是关于某物在主词中出现或不出现的有意义的陈述。”
· 《解释篇》十分明白地介绍了A（全称肯定）、E（全称否定）、I（特称肯定）、0（特称否定）对当方阵。这就为精确地研究有关这些基本形式的命题的逻辑推理奠定了基础。
· “我们说一个词项谓述另一个词项，只要找不到主词的任何实例，不能用另一词项述说它；‘不能谓述任何东西'，也必须以同样的方式来理解。”
（3）属性和关系
· 关系似乎可以还原为关系项：我们不说aRb，而代之以说a=R’b或a∈R’’b（a是那个与b有R关系的对象，或a属于与b有R关系的事物的集合）。所提议的这种还原会导致对关系的忽视。对于一个三元关系Sabc，为实现向关系项的还原，我们可能要引人多个特设的二元关系。
· 有人可能会尝试用更复杂的方法把关系还原为属性。从一个等价关系可以得到一个属性，它为该关系前域（及后域）中的全部成员所共有。如果所考虑的关系只是简单地说两个项不同，那么人们可以说，存在某个属性不为二者所共有。但对于不那么简单的关系，我们就不再能找到这种特别的还原。
（4）逻辑形式和模式字母的使用
· 就亚里士多德的用法而言，将下述形式定理归给他是适当的：(1)如果所有B是A且所有C是B，那么所有C是A。
· 这清楚地展示了逻辑形式的概念，因为我们可以很容易地想到(1)的实例，并将每个实例的成分分析为两类，我们视为变元的成分归入第一类，我们视为固定和不变的成分归入第二类。固定不变者就是逻辑常项。
· 亚里士多德以直觉的方式应用了命题逻辑的某些部分，既没有将它们公理化，甚至也没有一贯地明确陈述它们。亚里士多德的公理，即便被适当地重新解释，也是不完全的，其中“完全的”是指能证明三段论系统中的所有真表达式并拒斥它的所有假表达式。
· 亚里土多德的某些论断可以看作他的系统的元定理。“在每个三段论中，必有一个前提是肯定的，也必须出现全称命题。”“所以很清楚，每个证明和每个三段论都只通过三个词项进行。三段论的结论是由两个而非多于两个前提得出的。”
· 不可分辨者的同一性：“因为普遍一致的看法是，只有不可分辨且本质为一的事物才有完全相同的属性。”同一律“所有A是A”在亚里士多德著作中没有明确表述，只在证明中用到一次。
（5）几点评注
· 三段论处理的是类和它们之间的两种关系：包含（⊆）和交（I）。它所涉及的四种基本命题形式为：(A)A≠0∧A⊆B，(E)¬AIB，(I)AIB，(O)A=0∨¬A⊆B。
· 基本任务局限于一个特殊的问题：用三个词项构成三个命题，每个命题都属于给定形式中的一个，每个词项都恰好出现在两个命题中，然后问其中一个命题是否可从另外两个逻辑地推出。
· 关系被看作至少和属性一样重要；一旦我们认识到从关系到关系项的还原有缺陷，探究一种关系逻辑就变得十分自然。个体不应被排除在外，因为尽管科学通常不对任何特定的个体对象感兴趣，但它却对类与其成员之间的关系一般地感兴趣；因此应当以显式的方式使用量词对“A⊆B”进行分析。被隐含地使用的命题逻辑也应系统地加以发展。
（6）证明、公理及定义
· 正确推理的前提不必为真，这是今人熟知的一个观点，在亚里士多德那里似乎已经被提到。不知其前提为真与否的三段论是被允许的。
· 对亚里士多德来说，所有的纯科学知识都是必然的，并且其中每一条要么是基本真理，要么是通过证明从已有的科学知识得到。基本真理要么是公理，要么是论题,论题则要么是假设，要么是定义。
· 公理包括对任何事物都为真的命题，如矛盾律和排中律，也包括适用范围更受限的命题，后者只用于数量。公理似乎与欧几里得的“普遍概念”相呼应。假设则似乎与欧几里得的“公设”相呼应。
· 必然命题以这样一种方式将谓词归给主词，使得谓词是一个满足如下条件的属性：（1）对主词的每个实例为真；（2）是本质属性；（3）相称的和普遍的。
· 对亚里士多德来说，定义是一种客观的东西，任何被提出的定义都或者是正确的，或者是不正确的。给出“一个名字的意义”，只不过是在给出一个名义的定义，这种定义相对来说不重要，并且与三类实质的定义根本有别。
· 定义是（a）关于本质性质的一个不可证明的陈述，或（b）关于本质性质的一个在语法形式上有别于证明的三段论，或（c）一个给出本质性质的证明的结论。
· 定义之对象是一个给定的名字所涵盖的众多个体的某种普遍的或共有的性质。证明并不必然蕴涵形式或多外之一的存在，但它确实蕴涵着，可以用一真实地述说多；因为如果这不可能，我们就无法保全共相，而一旦共相丢失，中项就会随之而亡，证明也就变得不可能。所以必定存在一个可明确地用来谓述众多个体的单一、不变的词项。
· 对第一前提的知识既不能是天赋的，也不能是习得的。因此我们必定拥有某种能力，由之可发展出那些基本知识。我们发现这一能力就是感官知觉，它发展成记忆，于人又进一步发展为“经验”。作为重复性记忆的经验创造了（或者就是）概念。这看起来是对概念形成的一个不充分的说明。
· 无论是对于概念还是对于前提，从殊相到隐含于其中的共相的通路，据说都是由归纳实现的。对第一前提的把握是通过直观。因为这种直观能直接把握必然（因而也是普遍的）真理，所以它是一种理智直观。亚里士多德得出结论，存在这样一种创造性的科学源泉，它能把握原初的基本前提。他对此的讨论听起来像是一个先验论证：由于科学知识的存在是事实，且只有存在那种直观时它才是可能的，所以必定存在那种直观。
（7）真与符合，思维规律
· 亚里士多德没有对同一律做明确陈述。但他的确明确地陈述了矛盾律（同一属性不能在同一时间和同一个方面属于又不属于同一个主词）和排中律（在彼此矛盾的两项间不能有居间者）。他还明确地陈述了一个人们熟悉但有点空洞的真理标准：p当且仅当p是真的。
· 待矛盾律和排中律的更自然的方式是将它们视为元逻辑原理，这些原理规定了我们使用二值逻辑。如果我们这样考虑制定命题演算的任务，追问支配联结词的定理，排中律把可能的值限制到两个，而矛盾律则要求联结词是真值函项(复合命题具有一个完全由其成分的真值决定的唯一的真值)。对“非”的解释完全由这些定律决定，而更多用法和方便性上的考虑则决定究竟哪些真值函项与其他联结词对应。
（8）逻辑和发展的哲学
· 亚里士多德哲学的两大支柱可以说是他的逻辑和他的发展体系。他的逻辑并不直接适用于他的发展体系，而是仅仅适用于将变化过程凝结为静态命题的科学知识。逻辑预先假定所有词项都是“单义的”，它们是每次使用时都保持其意义的语词。
2.逻辑常项和逻辑真理
· 一阶或受限的谓词演算（量化理论（如何用量词对命题中个体的范围和数量进行表达和推理））有许多吸引人的性质，这鼓励我们将它与一阶逻辑或纯逻辑或逻辑自身相等同。接受了这一等同，我们就可以将逻辑真理的领域确定为该演算的定理（或这些定理的代人实例）。
· 追问这样的等同如何能够得到辩护，这个问题可以分成两部分：我们如何选择逻辑常项（逻辑语法），以及在选定逻辑常项之后，我们如何确定逻辑真理的领域。
（1）基于现行逻辑常项的逻辑真理
· 假设我们已经选定了量化逻辑现行语法的各种可能形式中的一种。（a）词汇或其片段：个体变元x、y等（的范畴）；（一元的、二元的等）谓词或谓词字母（或变元）或二者兼有（的范畴）；可能有名字和函数符号（的范畴）。（b）构造性小品词或逻辑常项：真值函项性联结词；量词；可能还有一个表示谓述关系的符号。句子（或合式公式）可按熟悉的方式定义，它与（a）和（b）一起构成我们的逻辑语法。句子的语法结构由逻辑常项的位置决定。
· 一个句子逻辑地为真，如果所有具有相同语法（或逻辑）结构的句子都为真；或者等价地说，无法通过词语代换将它变成假的。
· 如果我们不使用名字、函数符号和谓词字母（或变元），那么逻辑真理在所有合适的（在一种可精确界定的意义上）谓词变换下都保持为真。
· 如果我们不使用任何固定解释的名字（及函数符号）和谓词，那么一个句子（或模式或句子形式）是（逻辑）有效的，如果它在所有模型中为真，这里一个模型可以变动对变元（及模式字母）的解释，但不可以变动对（逻辑）常项的解释。
· 如果我们允许上面提到的所有记号，那么一个句子逻辑地为真，如果它为真且不包含逻辑常项以外的任何常项；仅有的其他基本要素是变元，它们在自由出现时被视作全称量化的。
· 表述逻辑真理的一个自然的方法是通过逻辑有效性，它意指在所有解释下（在所有可能世界中）保持为真。只要当我们在特定受限的类中变动谓词时它总是保持为真，一个量化句子就是在我们期望的意义上有效的。
· 只要这样的一个句子有模型，它就有算术模型。因此只要这样的一个句子是对所有算术谓词有效的，它就是无条件有效的。表达（自然数的）相等、加法和乘法的谓词以及它们的逻辑组合，就是我们所需要的全部。因此如果我们按照惯例同意将逻辑组合自动视为谓词，一个有穷的基本谓词清单就足够了，只要关于相等、加法和乘法的那三个谓词由之可以得到即可。
（2）纯逻辑的完全性和鲍尔查诺对逻辑有效性的定义
· 鲍尔查诺称一个命题相对于它的成分i、j等是有效的，如果随意改变这些成分所得的结果都是真的。他称这些命题是广义分析（分析地为真）命题。他将狭义分析命题定义为那些其不变部分都属于逻辑的广义分析命题。
· 根据鲍尔查诺，“一些命题A、B、C、D等和O、M、N等是相容的，特别是相对于概念等”，如果“存在一些概念，当它们被置于i、j等位置上时，能使所有这些命题为真”。如果我们把那些固定不变的部分看作逻辑常项，把i、j等看作变化的部分（谓词和变元的变域等），我们在这里所拥有的差不多就是现代的模型概念。
· 鲍尔查诺引入了一个可推演性概念:“说命题M、N、O等是相对于i、j等变项由命题A、B、C、D等可推演的，如果i、j等位置上的使A、B、C、D等命题为真的每组概念，也使M、N、O等命题为真。”这表示一个句子集X（逻辑地）蕴涵一个句子p，当且仅当p在X的每个模型中为真。鲍尔查诺的可推演性概念为形式逻辑系统的完全性提供了一个标准：一个形式系统是完全的，当且仅当该系统中的形式可推演性和鲍尔查诺意义上的可推演性是等外延的。
· 结构预设了任意的集合；满足（是…的模型）关系既预设了结构，也预设了对逻辑常项的那些先定的解释。当我们谈论模型概念时，我们通常是指满足关系（⊨）。
· 给定一个句子（或合式公式）的概念和一个模型的概念，我们可以一般地定义逻辑蕴涵关系和强完全性的概念。令X为一个句子集，p为单个语句。（LI）X逻辑蕴涵p当且仅当p在X的每个模型中为真，亦即对于每个结构M，如果叫M⊨X，则有M⊨p。称p是有效的，如果空集逻辑蕴涵p，即每个（合适形式的）结构都满足p。
· （LC）在给定的句子概念之下的一个形式系统S是强完全的，当且仅当由逻辑蕴涵可推得S中的形式可推演性（如果X逻辑蕴涵p，则有X⊢Sp）。普通（弱）完全性则只要求每个有效的句子p在S中是可证的。
· 现代逻辑的一个基本结果是，常见的一阶逻辑形式系统，相对于一个看起来十分自然的模型概念，在上述意义上确实是强完全的。
· 弗雷格提出了第一个一阶逻辑形式系统，后者被证明在每个有效句皆可证的意义上是完全的。弗雷格还将函数的概念推广到了真值函项和命题函项上，并第一次给出了现代的量化形式。
· 我们能用我们的非形式概念Vi说服自己相信：（a）如果⊢A，那么Vi(A)。我们还有一个十分精确的、数学的模型或有效性概念VS，它是用任意的集合论结构定义的。既然VS指称所有可能的解释，这些结构作为特别的一种必然也包含在内。因此无论Vi的确切涵义是什么，我们都可以断定：（b）如果Vi(A),那么VS(A)。（弱）完全性的证明没有使用非形式的概念，而是数学地给出的：（c）如果VS(A)，那么⊢A。将（a）、（b）、（c）合在一起，我们得到，Vi、VS和⊢是等外延的。我们不仅得到了“S的所有有效语句（VS意义上的）都是S的定理”这个数学结果，还得到了一个看起来不太精确的定理，即S的所有非形式有效句也都是S的定理。
· 希尔伯特和阿克曼重新发现了鲍尔查诺关于逻辑系统完全性的一般标准，并将其应用到一个与弗雷格的系统S相似但更为精确的具体系统上（选用的逻辑常项与现行形式一致）。该系统的完全性问题被作为一个待解问题提了出来。
· 希尔伯特提出了一个对完全性概念的新表述，它使用有穷论语言。结果证明这个提议不能令人满意，因为希尔伯特将一个句子A的有效性等同于其全体算术实例在一个特定的数论形式系统Z中的可证性。所允许的不是任意结构，而只是那些其集合和关系在系统Z中可表达的结构；更具限制性的是，不是要求4的实例为真，而是要求它们在Z中可证。
· 完全性定理不仅表明由VS(A)可推得⊢A，它还表明一种较弱意义上的有效性，亦即自然数论域上的有效性，足以保证在标准谓词逻辑系统中的可推演性。如果Vn(A)，那么⊢A。
· 逻辑蕴涵的另一个性质，即紧致性对于把握完全性的全部内容也很重要。只要X是有穷的，我们就可以通过合取将其转化为一个单个的句子B。此时X逻辑蕴涵p当且仅当B⊇p是有效的。这样凭借弱完全性，我们就能得到⊢B⊇p,从而有X⊢p。
· 只有当X是无穷集时，我们才需要系统S具有紧致性：系统S的语言下的一个无穷语句集X有模型，当且仅当X的每个有穷子集有模型。常见逻辑系统完全性的通常证明，可以很容易地被扩展为一个紧致性证明。给定紧致性，我们可通过将无穷情形归约为有穷情形得到强完全性。
· 给定一阶逻辑的语言和与之相伴的模型（或满足关系）概念，人们习用的形式系统S是强完全的。一旦我们选定了现行的逻辑常项清单，我们就拥有对逻辑蕴涵关系的一个十分成功的阐释（通过一个形式系统）。
· 在日常和数学话语中，像存在、析取和蕴涵之类的概念并不是完全固定的。我们可以说直觉主义者选择了相同的逻辑常项但赋予它们不同的解释，也可以说他们使用了不同的逻辑常项。
（3）更多常项及其他逻辑系统
· 是否应将等同符号或等词算作逻辑常项，这是人们熟知的一个问题。等同符号表示的是一种普遍关系，当我们允许涵义不同但指称相同的词项存在时，它很有用。我们有这样一些形式系统，它们由谓词逻辑加上等同符号扩充而来，并且继承了完全性和强完全性的性质。
· 如果我们把等同符号算作逻辑常项，我们就不能再说，那些为真且所包含常项都是逻辑常项的句子是逻辑真理；因为那个时候，会有一些真语句只包含逻辑常项，但似乎不应被视为逻辑地为真。我们也不能再说，用谓词替换谓词总是保持逻辑真。
· 在谓词逻辑中，当我们只关心有限数量的谓词时，我们可以用其他谓词来定义等词。假设Rxy是唯一的谓词，我们有∀x(Rxz≡Ryz)∧∀w(Rwx≡Rwy)作为x=y的定义。
· 完全且紧致的形式系统L(Q)通过添加需要固定解释的逻辑常项Q（“存在不可数多的”）扩充了一阶逻辑。有人认为，二阶逻辑之所以不令人满意，是因为它无法被形式公理化。同样的论证不再适用于L(Q)。
· 系统L(Q)要求进一步的扩张。一旦我们接受不可数性为逻辑概念，就没有什么能阻止我们把更高的无穷也算作逻辑常项。因此与一阶逻辑系统相比，L(Q)没有提供一个自然的终点。
· 林德斯特罗姆的定理既表明了一阶逻辑的高度稳定性，也表明了它的局限性。它给出了一个关于逻辑的一般概念，并断言一阶逻辑系统的明显扩张最终都等同于这个系统本身，只要它们满足勒文海姆定理（任何句子只要有模型就有可数模型），并且或者具有紧致性或者是形式可公理化的。
· 当我们感兴趣的是集合论或经典分析时，勒文海姆定理通常被看作一阶逻辑的一种缺陷。因此所证明的不是一阶逻辑是唯一可能的逻辑，而是这样一个命题：当我们在某种意义上否认不可数性概念的实在性，并要求逻辑证明是形式地可检查的（关于可公理化或紧致性的要求）时，一阶逻辑是唯一可能的逻辑。
· 在一阶逻辑中，每个可满足的句子p都有很多模型，因此我们可以将一个模型类M(p)与p相联系。如果p是不可满足的，那么M(p)就是空的。通过这种方式，我们能得到一个集族C={A|A=M(p)，对于某个p}。这个集族C由一阶逻辑决定，反过来也能决定一阶逻辑。我们现在可以抽象地考虑具有特定自然而普遍的性质的集族CL。这些集族被认为是（或决定）广义逻辑系统。紧致性和勒文海姆定理所对应的性质也可以用这些集族表达。
（4）逻辑的哲学基础
· 如果我们抛开对逻辑常项的异常解释（如直觉主义解释和量子论解释）不谈，或者将它们视为派生性的，定义逻辑并为之做辩护的问题可以等同于对逻辑常项的选择问题，特别是关于如下事实的辩护问题：命题联结词和量词被选作了逻辑常项。如果我们能给出一个对逻辑的自然定义，并表明这个定义导向这一选择，那么我们也会有一种答案。
· 我们可以诉诸量、质、关系和模态等传统范畴。一元谓词逻辑处理量，命题逻辑处理质，多元谓词逻辑处理关系，模态逻辑处理模态。仅就数学和科学而言，模态逻辑是不必要的，因为模态概念的出现并非不可或缺，可以用其他逻辑和元逻辑概念将它们解释掉。
· 逻辑常项问题是所谓“哲学逻辑”的核心问题。它可以用几种方式表述：查明逻辑形式和逻辑常项真正的特征；给出一个对逻辑小品词概念的一般的、易懂的说明；在人类知识的整体视野中为逻辑寻找一个自然的位置；从对命题观念的反思中提炼逻辑。
· 称一个命题B是命题A的（逻辑）后承或由A（逻辑地）可推演，如果每当A为真，B也为真，或者在每个可能的世界中都有，A真则B真。因此我们应该探寻一个关于可能世界或解释或模型的自然概念。
· 我们似乎可以合理假定，在科学语言中有句子，每个句子或真或假且二者只居其一。还可以合理地相信，应该存在一些词项和包含这些词项的句子，这些句子是如此简单，其真假只取决于其所描述事态的有无，而不依赖于其他句子的真假。
· 《逻辑哲学论》论证了不可分析（“基本的”）命题的必要性。“如果世界中不存在实体，一个命题是否有意义就会依赖于另一个命题是否为真。在这种情况下，我们无法勾画出任何世界图像（真的或假的）。”（2.0211，2.02212）这种想法无视关于知识的事实，而是预设我们必定有一种特殊的世界图像（真的或假的）。
· 假设我们有一个命题集，它在数量上可能有穷也可能无穷。对命题进行分组的最常见方式是将相同结构的命题放到一起。把名字换成变元并添加量词，我们就得∀xFx和∃xFx，它们分别断定所有形为Fa的命题的合取和析取。
· 我们将一个函项（一般概念，谓词）应用到一个主目（个例，主词）上以产生一个真值。它伴随着一个命题域，该命题域由所有函项相同但主目有别的命题构成。如果我们把这一想法当作全称量化的来源，并结合以否定的基本运算，我们就能通过一些自然的约定得到我们熟悉的那些逻辑常项。
· 这与维特根斯坦的一般命题形式相关但不同。后者的一个特征是允许我们断言一个给定集合中的所有命题为假。当存在无穷多命题时，这将太过一般化，因为我们有不可数多的命题集。
· 维特根斯坦还有另一个诱人的论断，它给人以这种印象：仅仅通过反思（一般形式的）命题的概念，我们就能达到那些逻辑常项。仅有的逻辑常项是所有命题依其本性共同具有的东西。但那正是命题的一般形式（5.47）。存在量化、合取乃至等同，都已经隐含在了简单命题的概念中。否定也包含在命题的概念中，因为一个命题总是或真或假，两种可能性我们都考虑。
· 一般命题和它所对应的逻辑积在意义上并不相同。（1）我们并不总能写出那个逻辑积。（2）当我们能写出时，我们也应该添加一个子句说明该逻辑积包含所有实例。（3）我们能够理解一个一般命题而不必听说其全部实例。（4）一个一般命题意在指涉一个对象总体，它与其全部实例之逻辑积的等价性依赖于这一假定：该总体中的每个对象都有一个（标准的）名字。
· 从真转向有效性，更多地是在我们选定逻辑常项之后帮助我们定义逻辑真，而不是为了核证我们对逻辑常项的特定选择。给定我们已选好的特殊的逻辑常项，如果我们假定了一个合适的可能世界概念或一个合适的、关于可能性的模态概念，我们也会得到一个自然的逻辑真概念。
· 在定义纯逻辑的语句及其有效性时，我们使用了递归方法，并设想有无穷多的实例。在考虑模型时，我们也允许无穷模型的存在。这将我们引向《逻辑哲学论》中以形式概念和形式序列的名义讨论的东西。我们也找到了从一阶逻辑到数理逻辑的自然过渡。
· 逻辑对世界无所断言。逻辑真不应该依赖于世界中有多少个体。然而罗素和拉姆齐都相信，要得到普通数学，我们不但需要假设个体存在，还要假设有无穷多的个体存在。他们相信数学只有借助无穷公理才能建立起来，后者被认为是一个关于世界的经验命题，并因此可真可假。罗素和拉姆齐关于逻辑和数的哲学肯定是错误的。无穷应当来自别的地方。
· 我们能够根据自己的意愿重复某些操作任意多次。这一事实对于我们的直观是如此清楚，以至于在构建逻辑和数学时，我们有充分的理由把它当作理所当然的。我们在数学中当然思考无穷，或至少思考潜无穷，与这个世界是有穷还是无穷无关。
· 作为一种逻辑可能性，我们可以假想如下的自然史：我们从构造一阶逻辑（一种空逻辑）开始，它是我们描述世界的一般语言的一部分，但不预设任何特定数量的事物在世界上存在。反思这个语言和如此构造的这个系统，我们发现我们可以无限制地重复以某些特定的方式从给定表达式得到新表达式的过程。当我们试图描述这一可能性，我们被引导去建立一些无穷系统。它们可被视为对正整数的一种自然表征。
· 我们从正整数的每个定义性质得到一个类。给定任何语句形式Fx，我们能够找到一个正整数的类K，使得对于每个正整数x,都有x属于K当且仅当Fx为真。
· 之后为正整数的类引入变元就是自然之事，这使定义语句形式Fx扩展为包括这些变元，它们或是自由的或是约束的。如果我们不加限制地重复这一过程到任意的n，并增加外延公理和选择公理，我们就到达了通常的简单类型论。如果我们继续扩张到超穷域，我们就进入通常所说的公理集合论，在后者那里，不同的类型在记法上的区别被取消，尽管概念上的类型区分仍保留。
· 对于试图用模态概念来处理逻辑和数学基础问题的人，避免使用直接让人想到模型和集合论解释的可能世界概念，转而强调与命题（及它们之间的蕴涵关系）、倾向、定律和条件联系更为紧密的可能性概念，是更可取的做法。
· 一个数学陈述为真可以这样来理解：满足基本条件（例如公理）却不满足该陈述的解释是不可能的。这里有一种模态解释和集合论解释之间的对偶。
· 模态进路的另一个优点是，与哲学家所发明的持存和分析性等概念不同，可能性和必然性是更自然的概念。一个与此相关的好处是，它们不仅关乎数学，也关乎一般形而上学。然而模态概念于我们似乎就有一种基本的歧义性。
参考文献
王浩，《从数学到哲学》
