行列式
行列式的基本性质
- 单位阵行列式的值为1
- 交换行或者列，行列式的值乘 -1
- |2a 3b c d| = 2*3*|a b c d|
|a b+c d e| = |a b d e| + |a c d e| - 某一行加上k倍其他行，行列式的值不变（用到性质3）
- |AB| = |A|*|B|
- |A| = |AT|，利用A = LU和上条性质可证明
矩阵
矩阵的类别
- 置换矩阵（permutation）
定义：P的每行和每列有且仅有一个1，其余填零。PA即为行变换，AP即为列变换。
求行列式：1或 -1，看其经过多少次变换可以成为单位阵，奇数次取-1，偶数次取1。
求特征值：1和 -1，再根据迹和行列式的值看有几个1几个-1。 - 正交矩阵
各列两两正交且为单位向量、各行两两正交且为单位向量。置换矩阵即为正交矩阵。
求行列式：1或 -1，具体需要看矩阵是什么样子的。
求逆：正交矩阵的转置即为其逆矩阵，置换矩阵是正交矩阵，故同样符合该求逆规则。
求特征值：容易出现复数 - 对称矩阵（symmetric）
对称矩阵的转置还是其本身。
形成：AAT结果即为对称矩阵。
求逆：结果仍为对称矩阵。
求行列式：各列或各行相加得到的列中的元素值一样，提出该值，依次计算。
求特征值：高斯消元后，主元的符号就是特征值的符号。对称矩阵可对角化。对角阵上的值即为对应的特征值。特征值对应的特征向量都是正交的。 - 正定矩阵
特征值均为正数的对称矩阵即为正定矩阵。0和正数同时存在称作半正定矩阵。
求逆：结果仍为正定矩阵。
求行列式：各列或各行相加得到的列中的元素值一样，提出该值，依次计算。
求特征值：全为正数 - 代数余子式矩阵
矩阵中某一元素的代数余子式是除去该元素所在的行和列，剩下元素形成的行列式的值，对矩阵中所有元素求该值，形成的矩阵即为代数余子式矩阵。 - 伴随矩阵
矩阵A的伴随矩阵是A的代数余子式矩阵的转置。
形成：A* = |A|A-1
求逆：A / |A| - 上三角矩阵
对角线及其上方有值（该值可为0），其余填0。
求逆：仍为上三角，对角线上的元素取倒数，其余稍稍计算即可
求行列式：对角线元素相乘
求特征值：对角线元素即为特征值 - 下三角矩阵
对角线及其下方有值（该值可为0），其余填0。
求逆：仍为下三角，对角线上的元素取倒数，其余稍稍计算即可
求行列式：对角线元素相乘
求特征值：对角线元素即为特征值 - 对角阵
只在对角线上有值的矩阵（该值可以为0），其余填0。既是上三角阵，也是下三角阵
求逆：每一个元素取倒数形成的矩阵即为逆矩阵
行列式：对角线元素相乘
求特征值：对角线元素即为特征值
矩阵求解逆矩阵、特征值、行列式常用性质
- 逆矩阵
|A||A-1| = E - 特征值
特征值的和等于迹（对角元素相加之和），特征值的积等于行列式的值 - 行列式
若存在线性相关向量（不满秩），行列式的值为0
矩阵的分解
- LU分解(A = LU)
U是高斯消元结果，可视为对A左乘P进行行变换，PA = U，有A = P-1U，则行变换矩阵的逆即为L。L对角线上为1。 - QR分解(A = QR)
Q是A正交化的结果，是A列空间的标准正交基，因为Q是以第一列为初始方向向量，对其他列向量进行变换，故R的第一列只有第一个元素有值，则R是上三角矩阵。a1 = R11 * q1，R11是一个数。 - 特征值分解(A = S
S-1)
S为特征向量组成的矩阵，
若A为正定阵（光对称不行，因为奇异值是非负的），则S为正交阵，此时A = S - 奇异值分解(A = U
VT)
U是列空间的一组正交基，V是行空间的一组正交基，
