四棱柱：2019年文数全国卷B题17

分值：12分

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上， $BE \perp EC_1.$

（1）证明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

（2）若 $AE=A_1E, AB=3$ ，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积.

2019年文数全国卷B

【解答问题1】

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是长方体，

∴ $C_1B_1 \perp$ 平面 $A_1ABB_1$ .

又∵ $BE \subset$ 平面 $A_1ABB_1$ ,

$BE \perp C_1B_1$

$BE \perp C_1B_1, BE \perp EC_1, EC_1 \cap C_1B_1=C_1$ ,

∴ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ . 证明完毕.

【解答问题2】

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是长方体，

$\angle EA_1B_1 =\angle EAB$ ,

$A_1B_1=AB$ ,

又∵ $AE=A_1E$ ,

$\triangle EA_1B_1 \cong \triangle EAB$ ,

$EB_1=EB$ .

在前节已经证明： $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ,

$BE \perp EB_1$ ,

$\triangle EB_1B$ 是等腰直角三角形.

$BB_1 = 2AB =6$

又∵ 底面 $ABCD$ 是正方形，

∴ $BC=AB=3$

$S_{CBB_1C_1}=18$

$V_{E-BB_1C_1C} = \dfrac{1}{3} S_{CBB_1C_1} \times AB=18$

【提炼与提高】

这是一道入门级的考题，可以用作同步练习，提高自信心.

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