四棱柱：2019年文数全国卷B题17

四棱柱：2019年文数全国卷B题17

分值：12分

如图，长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA_1 上，BE \perp EC_1.

（1）证明∶BE \perp 平面 EB_1C_1 ;

（2）若 AE=A_1E, AB=3，求四棱锥 E-BB_1C_1C 的体积.

2019年文数全国卷B

【解答问题1】

∵ ABCD-A_1B_1C_1D_1 是长方体，

∴ C_1B_1 \perp 平面 A_1ABB_1.

又∵ BE \subset 平面 A_1ABB_1,

BE \perp C_1B_1

BE \perp C_1B_1, BE \perp EC_1, EC_1 \cap C_1B_1=C_1,

∴ BE \perp 平面 EB_1C_1 . 证明完毕.

【解答问题2】

∵ ABCD-A_1B_1C_1D_1 是长方体，

\angle EA_1B_1 =\angle EAB,

A_1B_1=AB,

又∵ AE=A_1E,

\triangle EA_1B_1 \cong \triangle EAB,

EB_1=EB.

在前节已经证明：BE \perp 平面 EB_1C_1 ,

BE \perp EB_1,

\triangle EB_1B 是等腰直角三角形.

BB_1 = 2AB =6

又∵ 底面 ABCD 是正方形，

∴ BC=AB=3

S_{CBB_1C_1}=18

V_{E-BB_1C_1C} = \dfrac{1}{3} S_{CBB_1C_1} \times AB=18

【提炼与提高】

这是一道入门级的考题，可以用作同步练习，提高自信心.

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