三棱柱：2013年理数全国卷B题18（12分）
如图，直三棱柱 中，
分别是
的中点，
（I）证明∶//平面
;
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
2013年理数全国卷B
【解答问题I】
连接 , 记
的交点为
.
连接 .
∵ 是直三棱柱,
∴ 是矩形，∴
是
的中点；
∵ 是
中点，
是
中点，
∴ 是
的中位线，
∵ ,
平面
,
∴ //平面
. 证明完毕.
【解答问题Ⅱ：准备工作】
∵ 是直三棱柱 ,
,
∴ 是正方形，
是等腰直角三角形；
令 ，则
以点 为原点，并以
为
轴，建立坐标系. 则各点坐标如下：
【解答问题Ⅱ：算法一】
设平面 的法向量为
，则
设平面 的法向量为
，则
【解答问题Ⅱ：算法二】
平面 的法向量
平面 的法向量为
结论：求二面角 的正弦值等于
.
【提炼与提高】
本题第1问与文科卷相同，求解的关键是中位线定理.
本题第2问，用几何方法比较难搞；适合用向量方法解决。
很多学生在使用向量方法解答立体几何的过程中会遇到一个苦恼：很容易出现计算错误，在考试状态下要想自己查出这类错误是比较困难的. 笔者在此推荐一种新的算法：用向量的外积（又称叉乘）运算来求法向量。两种算法是等效的。在考试过程中，可以分别用两种方法计算，再比较计算结果.
一般来讲，比起单纯地检查计算过程，用一种不同的算法来进行验算，效率会更高.
