立体几何之目：2012年理数题19~棱柱上的二面角

2012年理数全国卷题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D 是棱 AA_1 的中点. DC_1 \perp BD.

（Ⅰ）证明∶ DC_1 \perp BC;

（Ⅱ）求二面角 A_1-BD-C_1 的大小.

2012年理科数学全国卷

【解答问题1】

∵ ABC-A_1B_1C_1 是直三棱柱，∴ A_1ACC_1 是矩形.

又∵ AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D 是棱 AA_1 的中点，

∴ \triangle C_1A_1D, \triangle DAC 是等腰直角三角形.

∴ DC_1 \perp DC

∵ DC_1 \perp BD, DC_1 \perp DC, DC \cap DC_1=D,

∴ DC_1 \perp 面 DBC.

又∵ BC \subset 面 DBC， ∴ DC_1 \perp BC.

【解答问题2】

2012年理数全国卷题19
M和D是中点

作 A_1B_1 中点 M, 并连接 MB, MD, MC_1.

A_1A \perp 面 A_1B_1C_1, ∴ AA_1 \perp MC_1

又∵ ABC-A_1B_1C_1 是直三棱柱， AC=BC，

∴ A_1C_1=B_1C_1, 而 MA_1=MB_1, ∴ MC_1 \perp A_1B_1

∵ MC_1 \perp A_1B_1, MC_1 \perp AA_1, AA_1 \cap A_1B_1=A_1, ∴ MC_1 \perp 面 A_1ABB_1, \triangle MBD 是 C_1BD 在平面 A_1ABB_1 内的投影.

∵ ABC-A_1B_1C_1 是直三棱柱，∴ 3个侧面是矩形.

令 AC=1, 则 A_1C_1=BC=AD=DA_1=1,

DC_1=\sqrt{2}, DB=\sqrt{3}, AB=A_1B_1=\sqrt{2}

S_{\triangle C_1BD}=\dfrac{1}{2} \times DC_1 \times DB=\dfrac{\sqrt{6}}{2}

S_{A_1ABB_1}=2\sqrt{2}

S_{\triangle MA_1D}=\dfrac{1}{8}S_{A_1ABB_1}

S_{\triangle BB_1M}=S_{\triangle DAB}=\dfrac{1}{4}S_{A_1ABB_1}

S_{\triangle MBD}=S_{A_1ABB_1}-S_{\triangle MA_1D} - S_{\triangle DAB} - S_{\triangle BB_1M}

S_{\triangle MBD}=\dfrac{3}{8}S_{A_1ABB_1}=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}

∴ \cos<A_1-BD-C_1>=\dfrac{S_{\triangle C_1BD}}{S_{\triangle MBD}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

结论：二面角 A_1-BD-C_1 等于 30° .

【提炼与提高】

本题第1问的解答应用了以下策略：由线面垂直推出线线垂直，应用平面几何知识推出新的线线垂直，再由线线垂直推出线面垂直，最后推出线线垂直，完成证明。

这是立体几何证明中的常用策略。2012年的理数卷和文数卷使用了相同的几何体，但第1问略有不同，请注意比较。

第2问是本题的重点。注意这个问题一个高考中的高频考点：

如何求二面角的大小？

对这类问题，常用的路线有三条。

路线一：找出二面角的平面角，并直接计算平面角的大小。

路线二：找出存在投影关系的两个多边形（一般来说是两个三角形），根据两个三角形的面积比计算。

路线三：建立空间直角坐标系，并求出法向量；根据法向量的夹角计算二面角。

具体用哪一种方法，要根据实际情况来选择。就本题而言，用面积比来求二面角较为简洁。

本题用向量法当然也是可以的，读者可以自行比较。

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