2012年理数全国卷题19
（19）（本小题满分12 分）
如图，直三棱柱 中，
是棱
的中点.
（Ⅰ）证明∶ ;
（Ⅱ）求二面角 的大小.
2012年理科数学全国卷
【解答问题1】
∵ 是直三棱柱，∴
是矩形.
又∵ 是棱
的中点，
∴ 是等腰直角三角形.
∴
∵ ,
∴ 面
.
又∵ 面
， ∴
.
【解答问题2】
2012年理数全国卷题19
M和D是中点
作 中点
, 并连接
.
面
, ∴
又∵ 是直三棱柱，
，
∴ , 而
, ∴
∵ , ∴
面
,
是
在平面
内的投影.
∵ 是直三棱柱，∴ 3个侧面是矩形.
令 , 则
,
,
,
∴
结论：二面角 等于
.
【提炼与提高】
本题第1问的解答应用了以下策略：由线面垂直推出线线垂直，应用平面几何知识推出新的线线垂直，再由线线垂直推出线面垂直，最后推出线线垂直，完成证明。
这是立体几何证明中的常用策略。2012年的理数卷和文数卷使用了相同的几何体，但第1问略有不同，请注意比较。
第2问是本题的重点。注意这个问题一个高考中的高频考点：
如何求二面角的大小？
对这类问题，常用的路线有三条。
路线一：找出二面角的平面角，并直接计算平面角的大小。
路线二：找出存在投影关系的两个多边形（一般来说是两个三角形），根据两个三角形的面积比计算。
路线三：建立空间直角坐标系，并求出法向量；根据法向量的夹角计算二面角。
具体用哪一种方法，要根据实际情况来选择。就本题而言，用面积比来求二面角较为简洁。
本题用向量法当然也是可以的，读者可以自行比较。
【相关考题】
