2018年理数全国卷A题18（12分）
如图，四边形 为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
（1）证明∶平面 平面
;
（2）求 与平面
所成角的正弦值.
2018年理科数学全国卷A
【解答问题1】
∵ 四边形 为正方形，
分别为
的中点，
∴ ,
是矩形，
又 ∵ , ∴
平面
又 ∵ 平面
,
∴ 平面 平面
. 证明完毕.
【解答问题2】
令 .
在平面 内作
, 点
为垂足.
在平面 内作
, 点
为垂足.
根据前节结论， 平面
，而
平面
, ∴
又∵ , ∴
平面
又∵ , 根据三垂线定理可得：
,
是直角三角形；
∵ 分别为
的中点，∴
根据三角形的相似关系可知：
,
,
∵ , 根据勾股定理可得：
又 ∵
∴ 与平面
所成角的正弦值
【提炼与提高】
折纸类问题，既考立体几何，又考平面几何；是高考中常用的命题模式.
本题第1问，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直，体现了转化的思想。在立体几何中是很典型的做法。
第2问待求量为线面角的正弦，我们用几何方法解答，首先找出点 在平面
内的投影，然后根据三角形的相似关系算出了
长度，问题就解决了. 在这个过程中直到关键作用的是如下知识：
『三垂线定理』
平面几何：『相似三角形的判定及性质』
本题中出现了几个特殊的直角三角形，三边比等于 ；这个三角形在高考数学和高考物理中经常出现，详见下文：
四个面都是直角三角形的四面体有个专门的名字：鳖臑. 本题中出现了两个鳖臑：. 这点也请留意一下.
本题第2问还有一种解法，就是用体积公式来完成计算。详见下文：
