立体几何之目:2011年理科数学全国卷题18

2011年理科数学全国卷题18 (12 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,\angle DAB=60°,AB=2 ADPD \perp 底面 ABCD.

(I)证明∶PA \perp BD;

(Ⅱ)若 PD =AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

2011年理科数学全国卷

【解答第1问】

AB 中点 M. 并连接 DM.

\angle DAB=60°, AM=AD=\dfrac{1}{2}AB, ∴ \triangle ADM 是正三角形,DM=AM=\dfrac{1}{2}AB, ∴ BD \perp DA.

PD \perp 底面 ABCD,∴ PD \perp BD.

BD \perp DA, BD \perp PD, PD \cap DA =D, ∴ BD \perp 平面 PDA.

又∵ PA \subset 平面 PDA, ∴ PA \perp BD.


【解答第2问】

BC \perp 平面 PDB, ∴ 二面角 D-PB-C 是一个直二面角。

二面角 A-PB-C = 二面角 A-PB-D + 90°

\cos<A-PB-C>= - \sin <A-PB-D>

\cos <A-PB-D>=\dfrac{S_{\triangle DPB}} {S_{\triangle APB}}

AD=1, 则 PD=1, PA=\sqrt{2}

AB=PB=2, BD=\sqrt{3},

S_{\triangle PDB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

S_{\triangle PAB}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}

\cos <A-PB-D> = \sqrt{\dfrac{3}{7}}

\sin<A-PB-D>=\sqrt{\dfrac{4}{7}}=\dfrac{2}{7}\sqrt{7}

结论:二面角 A-PB-C 的余弦值为 - \dfrac{2}{7}\sqrt{7}.


【提炼与提高】

求二面角的大小(或其余弦值、正弦值)是高考中常用的问题。基本思路有二:一是几何法;二是向量法。

几何法又有两种方法,一是寻找二面角的平面角;二是把线段比转化为面积比。

多数教辅书会用向量法解答本题。这里我们用了一种略带技巧性的方法。把二面角 A-PB-C 一分为二。其中一个( D-PB-C )是直二面角,所以,只要求出二面角 A-PB-D 的正弦即可。而这个问题是可以用面积之比来解决的。

本题中值得注意的另外一点是:四棱锥可以拆分为两个四面体:P-DBA, P-DBC.

四面体 P-DBA 有一个面是等腰三角形,三个面是直角三角形。如果把2007年文数海南卷中的『常用四面体I』从中间一分为二,就成为四面体P-DBA.

四面体 P-DBC 的四个面都是直角三角形。这样的四面体,中国古人称为:鳖臑。这个模型很有特色,也是高考中常用的。


最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 214,658评论 6 496
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 91,482评论 3 389
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 160,213评论 0 350
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 57,395评论 1 288
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 66,487评论 6 386
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 50,523评论 1 293
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 39,525评论 3 414
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 38,300评论 0 270
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 44,753评论 1 307
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,048评论 2 330
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,223评论 1 343
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 34,905评论 5 338
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 40,541评论 3 322
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,168评论 0 21
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,417评论 1 268
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 47,094评论 2 365
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,088评论 2 352

推荐阅读更多精彩内容