2011年理科数学全国卷题18 (12 分)
如图,四棱锥 中,底面 为平行四边形,, 底面
(I)证明∶;
(Ⅱ)若 ,求二面角 的余弦值.
【解答第1问】
作 中点 . 并连接 .
∵ , ∴ 是正三角形,, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .
∵ , ∴ 平面 .
又∵ 平面 , ∴ .
【解答第2问】
∵ 平面 , ∴ 二面角 是一个直二面角。
二面角 = 二面角 +
令 , 则 ,
, ,
结论:二面角 的余弦值为 .
【提炼与提高】
求二面角的大小(或其余弦值、正弦值)是高考中常用的问题。基本思路有二:一是几何法;二是向量法。
几何法又有两种方法,一是寻找二面角的平面角;二是把线段比转化为面积比。
多数教辅书会用向量法解答本题。这里我们用了一种略带技巧性的方法。把二面角 一分为二。其中一个( )是直二面角,所以,只要求出二面角 的正弦即可。而这个问题是可以用面积之比来解决的。
本题中值得注意的另外一点是:四棱锥可以拆分为两个四面体:.
四面体 有一个面是等腰三角形,三个面是直角三角形。如果把2007年文数海南卷中的『常用四面体I』从中间一分为二,就成为四面体.
四面体 的四个面都是直角三角形。这样的四面体,中国古人称为:鳖臑。这个模型很有特色,也是高考中常用的。