立体几何中的折纸类问题：2019年理数全国卷C题19

折纸：2019年理数全国卷C题19（12分）

图1是由矩形 ADEB，Rt \triangle ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°. 将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF重合，连接 DG，如图2.

（1）证明∶图2中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC \perp平面 BCGE;

（2）求图2 中的二面角 B-CG-A 的大小.

2019年理科数学全国卷C

【解答问题1】

∵ ADEB 是矩形，∴ AD // EB,

∵ BFGC 是菱形，∴ CG // EB

∴ AD // CG

∴ A，C，G，D 四点共面.

∵ ADEB 是矩形，∴ AB \perp BE,

∵ \triangle ABC 是直角三角形，∴ AB \perp BC

又 ∵ BE \cap BC = B,

∴ AB \perp 平面 BCGE

又 ∴ AB \subset 平面 ABC,

∴ 平面 ABC \perp平面 BCGE.

【解答问题2】

如图所示，记 CG 中点为 M.

BFGC 是菱形，且\angle FBC=60°. 所以，\triangle CFG 是正三角形，FM \perp CG, FM=\sqrt{3}.

因为 DE \perp 平面 ECG, 所以 DE \perp EM, \triangle DEM 是直角三角形，根据勾股定理求得：DC=\sqrt{5}

在 Rt \triangle ABC 中，根据勾股定理可求得：AC=\sqrt{5},

所以，AC=DC=\sqrt{5}, \triangle DCG 是等腰三角形, DM \perp CG 且 DM=2

因为 EM \perp CG, DM \perp CG, 所以 \angle DME 是二面角 B-CG-A 的平面角；

因为 \triangle DEM 是直角三角形，所以 \cos \angle DEM= \dfrac {EM} {DM} = \dfrac {\sqrt{3}} {2}

所以，二面角 B-CG-A 等于 30°.

【相关考题】

2019年全国卷三的立体几何大题在文科卷和理科卷中使用了相同的模型，而且第一问完全相同，第二问不同。可以称为「龙凤题」。详见：

2019年文数全国卷C题19

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