第六讲

功 $\color{red}{来自 sy}$

可能用到的符号

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知识点

功的定义与作用
- 力在物体位移方向的分量（投影）于位移大小的乘积
做功的2种方法
- 恒力的功
- 变力的功
求功的3种方法
- 直接积分法
- 动能定理法
- 建模积分法
做题注意事项
- 明确指出微元过程
- 先写出元功的表达式
- $W= \int_{初位置}^{末位置} \vec F \cdot d\vec r=\int_{初位置}^{末位置}F\cdot cos \theta \cdot ds$

例题

例1. 恒力与位移同向
某物体，收到沿着 $x$ 轴的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答：
$W=F \cdot \Delta x\cdot cos \theta=5 \times 10\times 1=50J$

例2. 恒力与位移同向有固定夹角
某物体，收到沿着 $x$ 轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答：
$W=F \cdot \Delta x\cdot cos \theta=5 \times 10\times \frac{\sqrt3}{2}=25\sqrt 3J$

例3. 变力：大小不变，夹角 $\theta$ 随位移变化
某物体，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它与 $x$ 轴的夹角 $\theta(x)=x$ 。在该力作用下，物体从坐标原点沿着 $x$ 轴正向移动到 $x=1$ ，则该力做功为( )

解答：当在微小的过程中 $\theta$ 为定值
元功为： $dW=F\cdot cos \theta \cdot dx$ 其中 $\theta$ 与x的函数关系
$W=\int_{0}^{1}F\cdot cos \theta \cdot dx =10sin\theta |_{0}^{1}=10sin1$

例4. 变力：方向不变，大小 $F$ 随位移变化
某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为( )

解答：因为力是变力
在微小的过程中，可以把F 看做恒力则有
$W=\int_{0}^{10}Fdx=\int_{0}^{10}(4+2x)=(4x+x^2)|_{0}^{10}=240J$

例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为( ).

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ?
显然不对，功的定义错了，力在物体位移方向的分量（投影）于位移大小的乘积，在这种有速度，有质量的，用动能定理：即合外力做功等于动能的变化量
$W=\frac{1}{2}m(v^2_末-v^2_初)=(50m)J$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答：
$\vec s=5t\vec i+t^2\vec j$ $\vec v=\frac {d\vec s}{dt}=5\vec j+2t \vec j 可知物体在X轴方向上为匀速运动$
$由动能定理得 W=\frac{1}{2}m(v^2_{t=4}-v^2_{t=2})=48J$

作业
质量 $m=1$ 的质点在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答：显然这题应用动量定理：合外力的冲量等于物体动量的变化量即 $I=F\cdot t=m\Delta v=P$
在微小的过程中认为力保持不变
$I=\int_{0}^{3}Fdt=t^2|_{0}^{3}=9 Ns=m\Delta v$
$\Delta v=9m/s$ 因为物体初态静止 $W=\frac {1}{2}m\Delta v^2=40.5J$

作业
质量 $m=2$ 的物体沿 $x$ 轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小( )。

解答：在微小的过程中认为力为恒力
$W=\int_{0}^{3}Fdx=x+x^2|_{0}^{3}=20J$
$由动能定理得，\frac {1}{2}m(v^2_末-v^2_初)=W$
$解得：v_{x=4}=5m/s$

例6. 建模积分法
一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )

解答：
（2）（3）（ $\int_{0}^{H}$ ）

作业
一链条总长为 $l$ ，质量为 $m$ ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为 $x$ .设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 $\mu$ 。令链条由静止开始运动，则到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

以桌面边缘为原点，以向下为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有

链条从x运动到x+dx在微小的过程中 $dx$ ,同时链条在桌面上质量减少了 $\frac {m}{l}dx$

第二步，摩擦力的元功 $f(x)dx$ 应表达为

摩擦力为变力， $dW=\mu \frac {l-y}{l}mdy$

第三步，定积分的写法为

$W=\int_ {a}^{l}\mu \frac {l-y}{l}mgdy$

最后编辑于：2019.03.13 07:57:23

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